Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.
(b) Parábola, foco (-4,0) e diretriz x=2.
y^2=-12(x+1)

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma parábola com foco em (-4,0) e diretriz x=2. Vamos usar a definição de parábola: cada ponto P(x,y) satisfaz dist(P, foco) = dist(P, diretriz).

Passo 2

A diretriz é a reta x=2. Para um ponto genérico P(x,y), a distância até a diretriz é lvert x-2rvert. A distância até o foco (-4,0) é raiz(x+4)^2 + y^2.
Igualando as distâncias, temos:
raiz(x+4)^2 + y^2 = |x - 2|

Passo 3

Para encontrar o vértice e o parâmetro p, note que o vértice fica no ponto médio entre foco e diretriz. A abscissa média é ( -4 + 2 )/2 = -1, e a ordenada é 0, então o vértice é (-1,0). A distância p entre vértice e foco vale 3. Como o foco está à esquerda da diretriz, a parábola abre para a esquerda, logo p = -3.

Passo 4

A forma canônica de uma parábola com eixo horizontal e vértice (h,k) é
(y-k)^2 = 4p , (x-h)
Substituindo h=-1, k=0 e p=-3, obtemos
y^2 = 4,( -3 ),( x +1 ) = -12,( x +1 )

Resposta

y^2 = -12(x + 1)

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