Use os multiplicados de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimos da função sujeita as restrições dadas.
(f)
s.a.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar Multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximos e mínimos da função $ f(x, y, z) = xy + 2z $ sujeita à restrição $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 36 $. Ou seja, queremos otimizar $ f $ sabendo que $ x, y, z $ estão num espaço onde a soma dos quadrados deles é 36. Para isso, vamos precisar entender como aplicar os multiplicadores de Lagrange, que ajudam a encontrar extremos de funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os Multiplicadores de Lagrange servem para otimizar uma função $ f(x, y, z) $ sujeita a uma restrição $ g(x, y, z) = 0 $. A ideia é que o gradiente de $ f $ seja paralelo ao gradiente de $ g $ no ponto de máximo ou mínimo, ou seja:
onde $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange.
Passo 3
Vamos identificar as funções:
Agora, calculamos os gradientes:
Passo 4
Segundo a condição de Lagrange:
Ou seja:
Além disso, temos a restrição:
Passo 5
Vamos resolver as equações (1) e (2). Da equação (1):
Da equação (2):
Substituindo $ y $ da equação (1) na equação (2):
Para que isso seja válido, ou $ x = 0 $ ou $ 4\lambda^{2} = 1 $. Vamos considerar $ x \neq 0 $, então:
Passo 6
Agora, usando a equação (3):
Se $ \lambda = \frac{1}{2} $:
Se $ \lambda = -\frac{1}{2} $:
Passo 7
Vamos encontrar $ x $ e $ y $ para cada caso de $ \lambda $.
Caso 1: $ \lambda = \frac{1}{2} $
Substituindo $ y = x $ e $ z = 2 $ na restrição:
Então, $ y = \pm 4 $
Caso 2: $ \lambda = -\frac{1}{2} $
Substituindo $ y = -x $ e $ z = -2 $ na restrição:
Então, $ y = \mp 4 $
Passo 8
Agora, temos quatro pontos candidatos:
- $ (4, 4, 2) $
- $ (-4, -4, 2) $
- $ (4, -4, -2) $
- $ (-4, 4, -2) $
Vamos calcular $ f(x, y, z) $ em cada um deles:
- $ f(4, 4, 2) = 4 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 16 + 4 = 20 $
- $ f(-4, -4, 2) = (-4) \cdot (-4) + 2 \cdot 2 = 16 + 4 = 20 $
- $ f(4, -4, -2) = 4 \cdot (-4) + 2 \cdot (-2) = -16 - 4 = -20 $
- $ f(-4, 4, -2) = (-4) \cdot 4 + 2 \cdot (-2) = -16 -4 = -20 $
Resposta
Os valores máximos e mínimos da função $ f(x, y, z) = xy + 2z $ sujeitos à restrição $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 36 $ são:
- Máximo: $ 20 $
- Mínimo: $ -20 $