Use os multiplicados de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimos da função sujeita as restrições dadas.
(f) f(x, y, z)=x y+2 z s.a. x^2+y^2+z^2=36

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar Multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximos e mínimos da função $ f(x, y, z) = xy + 2z $ sujeita à restrição $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 36 $. Ou seja, queremos otimizar $ f $ sabendo que $ x, y, z $ estão num espaço onde a soma dos quadrados deles é 36. Para isso, vamos precisar entender como aplicar os multiplicadores de Lagrange, que ajudam a encontrar extremos de funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os Multiplicadores de Lagrange servem para otimizar uma função $ f(x, y, z) $ sujeita a uma restrição $ g(x, y, z) = 0 $. A ideia é que o gradiente de $ f $ seja paralelo ao gradiente de $ g $ no ponto de máximo ou mínimo, ou seja:
f(x, y, z)
onde $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange.

Passo 3

Vamos identificar as funções:
f(x, y, z) = xy + 2z
g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 36 = 0
Agora, calculamos os gradientes:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = (y, x, 2)
nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y, partial gpartial z ) = (2x, 2y, 2z)

Passo 4

Segundo a condição de Lagrange:
nabla f = lambda nabla g
Ou seja:
y = lambda cdot 2x (1)
x = lambda cdot 2y (2)
2 = lambda cdot 2z (3)
Além disso, temos a restrição:
x^2 + y^2 + z^2 = 36 (4)

Passo 5

Vamos resolver as equações (1) e (2). Da equação (1):
y = 2lambda x
Da equação (2):
x = 2lambda y
Substituindo $ y $ da equação (1) na equação (2):
y
Para que isso seja válido, ou $ x = 0 $ ou $ 4\lambda^{2} = 1 $. Vamos considerar $ x \neq 0 $, então:
x = 2lambda (2lambda x) implies x = 4lambda^2 x

Passo 6

Agora, usando a equação (3):
2 = 2lambda z implies z = 22lambda = 1lambda
Se $ \lambda = \frac{1}{2} $:
lambda = 12
Se $ \lambda = -\frac{1}{2} $:
z = 2

Passo 7

Vamos encontrar $ x $ e $ y $ para cada caso de $ \lambda $.
Caso 1: $ \lambda = \frac{1}{2} $
x
Substituindo $ y = x $ e $ z = 2 $ na restrição:
y
Então, $ y = \pm 4 $
Caso 2: $ \lambda = -\frac{1}{2} $
lambda
Substituindo $ y = -x $ e $ z = -2 $ na restrição:
lambda = 12
Então, $ y = \mp 4 $

Passo 8

Agora, temos quatro pontos candidatos:
  1. $ (4, 4, 2) $
  2. $ (-4, -4, 2) $
  3. $ (4, -4, -2) $
  4. $ (-4, 4, -2) $
Vamos calcular $ f(x, y, z) $ em cada um deles:
  1. $ f(4, 4, 2) = 4 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 16 + 4 = 20 $
  2. $ f(-4, -4, 2) = (-4) \cdot (-4) + 2 \cdot 2 = 16 + 4 = 20 $
  3. $ f(4, -4, -2) = 4 \cdot (-4) + 2 \cdot (-2) = -16 - 4 = -20 $
  4. $ f(-4, 4, -2) = (-4) \cdot 4 + 2 \cdot (-2) = -16 -4 = -20 $

Resposta

Os valores máximos e mínimos da função $ f(x, y, z) = xy + 2z $ sujeitos à restrição $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 36 $ são:
  • Máximo: $ 20 $
  • Mínimo: $ -20 $

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