Determine o volume de
e
, onde
é a elipse
de área mínima que circunda o círculo de equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular o volume de um conjunto $ E $ no espaço tridimensional, onde $ E $ é definido por pontos $ (x, y, z) $ que estão dentro de uma região $ D $ no plano $ xy $ e com $ z $ variando de 0 até $ \ln 2 $. A região $ D $ é a elipse de área mínima que envolve o círculo dado por $ x^2 + y^2 = 2x $.
Para resolver isso, vamos precisar entender de geometria analítica, especificamente de elipses e círculos, e como calcular áreas e volumes usando integrais ou fórmulas geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o círculo $ x^2 + y^2 = 2x $. Podemos reescrever essa equação para facilitar:
Isso mostra que o círculo tem centro em $ (1, 0) $ e raio 1.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a elipse de área mínima que circunda esse círculo. Sabemos que a elipse mais simples que circunda um círculo é o próprio círculo, mas aqui estamos buscando uma elipse que circunda o círculo e provavelmente tem um formato mais alongado para minimizar a área.
No entanto, nesse caso específico, como o círculo já está centrado em $ (1, 0) $ e tem raio 1, a menor elipse que o circunda será a elipse com semieixos iguais ao raio do círculo. Portanto, a elipse de área mínima que circunda esse círculo é o próprio círculo $ (x - 1)^2 + y^2 = 1 $, que pode ser vista como uma elipse com semieixos $ a = 1 $ e $ b = 1 $.
Passo 4
Então, a equação da elipse $ D $ é:
Simplificando:
Isso confirma que $ D $ é um círculo com centro em $ (1, 0) $ e raio 1.
Passo 5
Agora, queremos calcular o volume de $ E $, que é definido por todos os pontos $ (x, y, z) $ onde $ (x, y) $ está na região $ D $ e $ z $ varia de 0 a $ \ln 2 $.
Como $ z $ varia de 0 a $ \ln 2 $ e $ D $ é uma região no plano $ xy $, o volume $ V $ de $ E $ é dado pela área de $ D $ multiplicada pela altura $ \ln 2 $.
Passo 6
A área de uma elipse é dada por:
Onde $ a $ e $ b $ são os semieixos da elipse. No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = 1 $, então:
Passo 7
Agora, multiplicamos a área de $ D $ pela altura $ \ln 2 $ para encontrar o volume:
Resposta
O volume de $ E $ é $ \pi \times \ln 2 $, ou seja: