Verifique as seguintes igualdades:
forall x in R(cos 2 x=2 cos ^2 x-1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que vale para todo número real a identidade trigonométrica cos 2x = 2cos^2 x - 1. O conteúdo envolvido é identidades trigonométricas, em especial a fórmula de soma de ângulos para o cosseno e a identidade pitagórica.

Passo 2

Usamos a fórmula de soma de ângulos: cos(a+b)=cos acos b - sin asin b. Tomando a=b=x, obtemos
cos(2x)=cos(x+x)=cos xcos x-sin xsin x
Repare que cos xcos x=cos^2 x e sin xsin x=sin^2 x. Logo
cos(2x)=cos^2 x-sin^2 x

Passo 3

Agora usamos a identidade pitagórica sin^2 x+cos^2 x=1, de onde sin^2 x=1-cos^2 x. Substituindo em cos(2x)=cos^2 x-sin^2 x temos
cos(2x)=cos^2 x - (1-cos^2 x)=2cos^2 x-1

Passo 4

Concluímos que a identidade está verificada para todo xinR.

Resposta

cos 2x = 2cos^2 x - 1

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