Determine o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u=
(0,-1,2), v=(-4,2,-1) e w=(3,4,-2).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos os vetores u=(0,-1,2), v=(-4,2,-1) e w=(3,4,-2) e queremos o volume do paralelepípedo que eles determinam. O conteúdo usado é o produto escalar triplo, que também pode ser calculado como determinante de matriz 3times3.

Passo 2

O volume V do paralelepípedo determinado por três vetores é dado pelo valor absoluto do produto escalar triplo:
V = l|ucdot(vtimesw)r|
que equivale a
V = l|det 0 & -1 & 2 -4 & 2 & -1 3 & 4 & -2 r|

Passo 3

Vamos calcular o determinante por expansão na primeira linha:
det = 0cdot2 & -14 & -2 -(-1)cdot-4 & -13 & -2 +2cdot-4 & 23 & 4

Passo 4

Agora calculamos os menores 2times2:
2 & -14 & -2 =2cdot(-2)-(-1)cdot4=-4+4=0,
-4 & -13 & -2 =(-4)cdot(-2)-(-1)cdot3=8+3=11,
-4 & 23 & 4 =(-4)cdot4-2cdot3=-16-6=-22
Substituindo,
det = 0 + 1cdot11 + 2cdot(-22) = 11 - 44 = -33

Passo 5

O volume é o valor absoluto do determinante:
V = |-33| = 33

Resposta

33

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