Determine o volume da parte do primeiro octante do sólido delimitado pelos cilindros
e
e compreendido entre eles. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume da parte do primeiro octante de um sólido que é delimitado pelos cilindros
e
, e que está compreendido entre eles. Vamos precisar usar cálculo integral, especialmente integrais múltiplas, para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “primeiro octante”. No espaço tridimensional, o primeiro octante é a parte onde
,
e
são todos positivos. Então, vamos focar nessa região.
Passo 3
Agora, vamos olhar para as equações dos cilindros:
-
é um cilindro circular com eixo ao longo do eixo . -
é um cilindro circular com eixo ao longo do eixo .
Esses dois cilindros se intersectam no primeiro octante, e queremos encontrar o volume da região que eles delimitam.
Passo 4
Vamos parametrizar os limites de integração. No primeiro octante,
,
e
variam de 0 a 1. Mas precisamos encontrar as relações entre essas variáveis dadas pelas equações dos cilindros.
Da equação
, podemos expressar
em termos de
:
Da equação
, podemos expressar
em termos de
:
Passo 5
Para encontrar o volume, podemos configurar uma integral tripla. No entanto, devido à simetria do problema, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas ou integrar em duas etapas. Vamos optar por uma abordagem de integral dupla.
O volume
pode ser expresso como:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Passo 8
Vamos resolver essa integral:
Resposta
O volume da parte do primeiro octante do sólido delimitado pelos cilindros é
.