Determine o volume da parte do primeiro octante do sólido delimitado pelos cilindros x^2+y^2=1 e y^2+z^2=1 e compreendido entre eles. Resp.: 23.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume da parte do primeiro octante de um sólido que é delimitado pelos cilindros x^2+y^2=1 e y^2+z^2=1, e que está compreendido entre eles. Vamos precisar usar cálculo integral, especialmente integrais múltiplas, para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “primeiro octante”. No espaço tridimensional, o primeiro octante é a parte onde x, y e z são todos positivos. Então, vamos focar nessa região.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as equações dos cilindros:
  1. x^2+y^2=1 é um cilindro circular com eixo ao longo do eixo z.
  2. y^2+z^2=1 é um cilindro circular com eixo ao longo do eixo x.
Esses dois cilindros se intersectam no primeiro octante, e queremos encontrar o volume da região que eles delimitam.

Passo 4

Vamos parametrizar os limites de integração. No primeiro octante, x, y e z variam de 0 a 1. Mas precisamos encontrar as relações entre essas variáveis dadas pelas equações dos cilindros.
Da equação x^2+y^2=1, podemos expressar x em termos de y:
x = raiz1 - y^2
Da equação y^2+z^2=1, podemos expressar z em termos de y:
z = raiz1 - y^2

Passo 5

Para encontrar o volume, podemos configurar uma integral tripla. No entanto, devido à simetria do problema, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas ou integrar em duas etapas. Vamos optar por uma abordagem de integral dupla.
O volume V pode ser expresso como:
V = integral0^1 integral0^raiz1 - y^2 raiz1 - y^2 , dx , dy

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x:
integral0^raiz1 - y^2 raiz1 - y^2 , dx = raiz1 - y^2 cdot raiz1 - y^2 = 1 - y^2

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral externa:
V = integral0^1 (1 - y^2) , dy

Passo 8

Vamos resolver essa integral:
integral0^1 (1 - y^2) , dy = [ y - y^33 ]0^1 = (1 - 13) - (0 - 0) = 23

Resposta

O volume da parte do primeiro octante do sólido delimitado pelos cilindros é 23.

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