Determine as áreas por integração dupla em coordenadas polares:
(a) Área do círculo de raio 1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a área de um círculo de raio 1 usando integração dupla em coordenadas polares. O conteúdo da matéria envolve mudança de variáveis para coordenadas polares e uso do jacobiano para o elemento de área.

Passo 2

Em coordenadas polares, relacionamos as coordenadas cartesianas e o elemento de área como segue: x = r cos θ, y = r sin θ, e o elemento de área dA se transforma em r dr dθ. Esse fator r é o jacobiano da transformação. Precisamos escolher os limites adequados para o círculo de raio 1. Como r mede a distância ao centro, temos 0 ≤ r ≤ 1. Como o círculo é completo, θ varia de 0 até 2π.

Passo 3

Escrevemos a área como a integral dupla em polares e primeiro calculamos a parte em r:
integralr=0^1 r,dr = [r^22]0^1 = 12
Em seguida, integramos em θ usando o resultado anterior:
integralθ=0^2pi 12,dθ = 12 l[θr]0^2pi = 12 cdot 2pi = pi

Resposta

pi

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