Determine as áreas por integração dupla em coordenadas polares:
(a) Área do círculo de raio 1.
(a) Área do círculo de raio 1.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a área de um círculo de raio 1 usando integração dupla em coordenadas polares. O conteúdo da matéria envolve mudança de variáveis para coordenadas polares e uso do jacobiano para o elemento de área.
Passo 2
Em coordenadas polares, relacionamos as coordenadas cartesianas e o elemento de área como segue: x = r cos θ, y = r sin θ, e o elemento de área dA se transforma em r dr dθ. Esse fator r é o jacobiano da transformação. Precisamos escolher os limites adequados para o círculo de raio 1. Como r mede a distância ao centro, temos 0 ≤ r ≤ 1. Como o círculo é completo, θ varia de 0 até 2π.
Passo 3
Escrevemos a área como a integral dupla em polares e primeiro calculamos a parte em r:
Em seguida, integramos em θ usando o resultado anterior: