Resolver as equações diferenciais em potência de
e determine seu raio de convergência.
Passo 1
A equação diferencial é
. O conteúdo é o método de séries de potências em torno de
. Vamos assumir que existe uma solução analítica
e achar uma relação de recorrência entre os coeficientes, além de determinar o raio de convergência.
Passo 2
Assumimos a solução em série de potências:
Dessa forma, temos
onde entendemos que
para alinhar os índices.
Passo 3
Substituindo em
e igualando coeficientes de
obtemos
ou seja
Passo 4
Para
e
dá
e
, logo
. As constantes livres são
e
. A partir daí, a recorrência liga
a
, o que gera duas soluções independentes: uma com termos de ordem par múltipla de 4 e outra com termos de ordem ímpar congruente a 1 módulo 4.
Passo 5
Calculando alguns termos para ver o padrão:
Para a parte par (começando em ):
Para a parte par (começando em
Para a parte ímpar (começando em
):
Assim as duas séries são
Passo 6
Para o raio de convergência fazemos o teste de razão sobre os coeficientes gerais. Como a relação de recorrência cresce factorialmente no denominador, obtemos raio
.
Resposta
A solução geral é
com raio de convergência
.