Resolver as equações diferenciais em potência de x e determine seu raio de convergência.
y^prime prime+2 x^2 y=0

Passo 1

A equação diferencial é y'' + 2x^2y = 0. O conteúdo é o método de séries de potências em torno de x=0. Vamos assumir que existe uma solução analítica y(x) e achar uma relação de recorrência entre os coeficientes, além de determinar o raio de convergência.

Passo 2

Assumimos a solução em série de potências:
y = sumn=0^infty an x^n
Dessa forma, temos
y'' = sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2 = summ=0^infty (m+2)(m+1)am+2 x^m,
2x^2y = 2sumn=0^infty an x^n+2 = 2summ=0^infty am-2 x^m,
onde entendemos que a-2=a-1=0 para alinhar os índices.

Passo 3

Substituindo em y''+2x^2y=0 e igualando coeficientes de x^m obtemos
(m+2)(m+1)am+2 + 2am-2 = 0,
ou seja
am+2 = -2(m+2)(m+1),am-2, m>=0

Passo 4

Para m=0 e m=1 (2cdot1)a2=0 e (3cdot2)a3=0, logo a2=a3=0. As constantes livres são a0 e a1. A partir daí, a recorrência liga am+2 a am-2, o que gera duas soluções independentes: uma com termos de ordem par múltipla de 4 e outra com termos de ordem ímpar congruente a 1 módulo 4.

Passo 5

Calculando alguns termos para ver o padrão:
Para a parte par (começando em a0):
a4 = -24cdot3a0 = -16a0, a8 = -28cdot7a4 = 1168a0, ;ldots
Para a parte ímpar (começando em a1):
a5 = -25cdot4a1 = -110a1, a9 = -29cdot8a5 = 1360a1, ;ldots
Assim as duas séries são
y1(x) = 1 - x^46 + x^8168 - cdots,
y2(x) = x - x^510 + x^9360 - cdots

Passo 6

Para o raio de convergência fazemos o teste de razão sobre os coeficientes gerais. Como a relação de recorrência cresce factorialmente no denominador, obtemos raio R=infty.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1l(1 - x^46 + x^8168 - cdotsr) + C2l(x - x^510 + x^9360 - cdotsr),
com raio de convergência R = infty.

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