Utilizando integrais duplas, determine o volume dos sólidos a seguir:
(a) abaixo do plano z=1+x+y e acima da região limitada por x=0, x=1, y=0 e y=1.

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido situado abaixo do plano z = 1 + x + y e acima da região plana D definida por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1. O conteúdo é aplicação de integrais duplas para cálculo de volume.

Passo 2

Para obter o volume, montamos a integral dupla de f(x,y)=1+x+y sobre a região D:
V = integral duplaD (1+x+y),dA
Como D é um retângulo, podemos usar ordem de integração dx,dy:
V = integraly=0^1 integralx=0^1 (1 + x + y),dx,dy

Passo 3

Primeiro integramos em x:
integralx=0^1 (1 + x + y),dx = l[x + tfracx^22 + x,yr]0^1 = 1 + tfrac12 + y = tfrac32 + y
Em seguida, integramos em y:
V = integraly=0^1 l(tfrac32 + yr),dy = l[tfrac3y2 + tfracy^22r]0^1 = tfrac32 + tfrac12 = 2

Passo 4

Portanto, o volume do sólido é obtido pela soma das partes e dá 2.

Resposta

2

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