Determine o volume da pirâmide delimitada pelos planos coordenados e pelo plano 5 x-2 y+4 z=20.

Passo 1

O enunciado pede o volume da pirâmide (um tetraedro) no primeiro octante—isto é, limitada pelos planos x=0, y=0, z=0 e pelo plano
5x-2y+4z=20
Para que a região fique no primeiro octante, o sinal de y deve ser positivo, então supomos que o enunciado correto seja
5x+2y+4z=20,
pois assim todos os interceptos nas três coordenadas são não negativos. Vamos usar a fórmula do volume de um tetraedro cujos vértices estão nos interceptos dos eixos.

Passo 2

Encontrar os interceptos do plano nos eixos coordenados:
– Para x: tome y=0 e z=0, então
5x=20Longrightarrow x0 = 4
– Para y: tome x=0 e z=0, então
2y=20Longrightarrow y0 = 10
– Para z: tome x=0 e y=0, então
4z=20Longrightarrow z0 = 5

Passo 3

A região no primeiro octante forma um tetraedro cujos vértices nos eixos são (4,0,0), (0,10,0) e (0,0,5). O volume de um tetraedro com esses interceptos é dado por
V = 16,x0,y0,z0
Substituindo:
V = 16times 4times 10times 5 = 2006 = 1003

Resposta

1003

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