Determine o volume da pirâmide delimitada pelos planos coordenados e pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da pirâmide (um tetraedro) no primeiro octante—isto é, limitada pelos planos
,
,
e pelo plano
Para que a região fique no primeiro octante, o sinal de
deve ser positivo, então supomos que o enunciado correto seja
pois assim todos os interceptos nas três coordenadas são não negativos. Vamos usar a fórmula do volume de um tetraedro cujos vértices estão nos interceptos dos eixos.
Passo 2
Encontrar os interceptos do plano nos eixos coordenados:
– Para : tome
e
, então
– Para
– Para
: tome
e
, então
– Para
: tome
e
, então
Passo 3
A região no primeiro octante forma um tetraedro cujos vértices nos eixos são
,
e
. O volume de um tetraedro com esses interceptos é dado por
Substituindo: