Considere alpha: 2 x+3 y-z+1=0, P(1,-4,5) e s: & x=y+1 & z=3.
Determine, justificando:
a) d(P, s)
b) d(P, alpha)
c) uma equação da reta m que satisfaz às três condições:
(i) d(P, m)=0
(ii) d(m, s)=0
(iii) d(m, alpha)=d(P, alpha).

Passo 1

O enunciado dá a reta
s:,x=y+1,;z=3, o ponto
P=(1,-4,5) e o plano
alpha:,2x+3y-z+1=0.
Pede-se
a) a distância de P a s,
b) a distância de P a alpha,
c) uma reta m tal que
(i) P pertença a m,
(ii) a distância entre m e s seja zero (ou seja, m intersecta ou é paralela a s),
(iii) a distância de m a alpha seja igual à distância de P a alpha.
Para a) usamos a fórmula da distância de um ponto a uma reta em R^3.
Para b) usamos a fórmula da distância de um ponto a um plano.
Para c) vamos escolher m passando por P, intersectando s num ponto Q, e fazer com que o vetor diretor de m seja paralelo a alpha, de modo que toda reta m tenha distância à alpha igual à de P.

Passo 2

Calcular d(P,s).
Uma forma prática é usar
d(P,s) =l|(P Q0)times vr||v|,
onde Q0=(1,0,3) é um ponto em s (tomando y=0implies x=1) e
v=(1,1,0) é o vetor diretor de s.
Então
P Q0 =(1-1,,-4-0,,5-3)=(0,-4,2),
(P Q0)times v = i&j&k 0&-4&2 1&1&0 =(-2),i-(-2),j+4,k=(-2,2,4),
|(P Q0)times v| =raiz(-2)^2+2^2+4^2=raiz4+4+16=raiz24=2raiz6, |v|=raiz1+1+0=raiz2
Portanto
d(P,s) =2raiz6raiz2 =2raiz3

Passo 3

Calcular d(P,alpha).
Para o plano alpha:2x+3y-z+1=0 e o ponto P=(1,-4,5),
d(P,alpha) =l|2cdot1+3cdot(-4)-1cdot5+1r|raiz2^2+3^2+(-1)^2 =|2-12-5+1|raiz4+9+1 =|-14|raiz14 =14raiz14 =raiz14

Passo 4

Construir a reta m.
Queremos m passar por P, intersectar s num ponto Q e ser paralela a alpha.
Seja Qin s dado por parâmetro t:
Q(t)=(1+t,;t,;3)
O vetor PQ é
PQ =(1+t-1,;t+4,;3-5) =(t,;t+4,;-2)
Para que PQ seja paralelo ao plano alpha, basta que seja ortogonal ao vetor normal
n=(2,3,-1), i.e.
PQcdot n =2,t+3(t+4)+(-1)(-2) =2t+3t+12+2 =5t+14 overset!=0 ;Longrightarrow; t=-145
Assim
Q =l(1-tfrac145,,-tfrac145,,3r) =l(-tfrac95,,-tfrac145,,3r)

Passo 5

Equação da reta m.
Tomando P=(1,-4,5) e a direção
PQ =l(-tfrac145,,tfrac65,,-2r),
podemos multiplicar por 5 e simplificar por 1 (ou por 2) para ficar inteiro. Um vetor diretor conveniente é
d=(-7,3,-5).
Logo uma forma paramétrica de m é
m: (x,y,z) =(1,-4,5)+lambda,(-7,3,-5), lambdainR,
ou, em forma simétrica,
x-1-7=y+43=z-5-5
Verifica-se que Pin m, que m intersecta s em Q e que PQcdot n=0, o que garante que todo ponto de m está à mesma distância de alpha que P.

Resposta

a) d(P,s)=2raiz3
b) d(P,alpha)=raiz14
c) A reta m é, por exemplo,
m:;(x,y,z)=(1,-4,5)+lambda,(-7,3,-5),;lambdainR

Exercícios relacionados