Determine, justificando:
a)
b)
c) uma equação da reta que satisfaz às três condições:
(i)
(ii)
(iii) .
Passo 1
O enunciado dá a reta , o ponto e o plano .
Pede-se
a) a distância de a ,
b) a distância de a ,
c) uma reta tal que
(i) pertença a ,
(ii) a distância entre e seja zero (ou seja, intersecta ou é paralela a ),
(iii) a distância de a seja igual à distância de a .
Para a) usamos a fórmula da distância de um ponto a uma reta em .
Para b) usamos a fórmula da distância de um ponto a um plano.
Para c) vamos escolher passando por , intersectando num ponto , e fazer com que o vetor diretor de seja paralelo a , de modo que toda reta tenha distância à igual à de .
Passo 2
Calcular .
Uma forma prática é usar
onde Q0=(1,0,3) é um ponto em s (tomando y=0implies x=1) e v=(1,1,0) é o vetor diretor de s.
Então
P Q0 =(1-1,,-4-0,,5-3)=(0,-4,2),
(P Q0)times v = i&j&k 0&-4&2 1&1&0 =(-2),i-(-2),j+4,k=(-2,2,4),
podemos multiplicar por 5 e simplificar por 1 (ou por 2) para ficar inteiro. Um vetor diretor conveniente é d=(-7,3,-5).
Logo uma forma paramétrica de m é
m: (x,y,z) =(1,-4,5)+lambda,(-7,3,-5), lambdainR,
ou, em forma simétrica,
x-1-7=y+43=z-5-5
Verifica-se que Pin m, que m intersecta s em Q e que PQcdot n=0, o que garante que todo ponto de m está à mesma distância de alpha que P.
Resposta
a) d(P,s)=2raiz3
b) d(P,alpha)=raiz14
c) A reta m é, por exemplo,