Escreva as equações de uma reta t paralela aos planos alpha e beta, e concorrente com as retas res, considerando:
ll alpha: 2 x+y-z+1=0 & beta: x+3 y+2 z-2=0 r: X=(1,2,1)+h(1,0,2) ; h in IR & s: X=(2,3,-2)+lambda(1,-2,3) ; lambda in IR

Passo 1

O enunciado pede uma reta t que seja paralela aos dois planos
alpha:2x+y-z+1=0, beta:x+3y+2z-2=0
e que intercepte simultaneamente as retas
r:;X=(1,2,1)+h,(1,0,2), s:;X=(2,3,-2)+lambda,(1,-2,3)
Para resolver precisamos de duas coisas: (i) achar o vetor direção de t de modo que seja paralelo a alpha e a beta e (ii) escolher o ponto de t de forma que t cruze r e também cruze s.

Passo 2

Uma reta é paralela a um plano quando seu vetor direção é ortogonal ao vetor normal do plano. Os vetores normais são
nalpha=(2,1,-1), nbeta=(1,3,2)
Logo o vetor direção de t deve satisfazer
vcdot nalpha=0, vcdot nbeta=0
Um candidato natural é
v ;=;nalphatimes nbeta ;=;(2,1,-1)times(1,3,2) ;=;(5,-5,5) ;=;5,(1,-1,1)
Podemos tomar então
v=(1,-1,1)

Passo 3

Para que t intercepte r tomamos o ponto de intersecção P como um ponto genérico de r, digamos
P=r(h)=(1+h,,2,,1+2h)
Em seguida exigimos que a reta com equação X=P+t,v também intercepte s. Dito de outra forma, existem t=mu e lambda tais que
P+mu,(1,-1,1) =;(1+h+mu,;2-mu,;1+2h+mu) ;=; s(lambda)=(2+lambda,;3-2lambda,;-2+3lambda)
Isso dá o sistema
1+h+mu = 2+lambda, 2-mu = 3-2lambda, 1+2h+mu = -2+3lambda

Passo 4

Resolvendo o sistema: da segunda equação vem mu=2lambda-1.
Da primeira lambda= h+mu-1. Substituindo mu obtemos lambda=2-h.
Então mu=2(2-h)-1=3-2h.
Por fim, a terceira equação impõe
1+2h+(3-2h);=;-2+3(2-h) ;Longrightarrow; 4 = 4,
que não dá restrição adicional, exceto garantir consistência.
O único valor de h que surge é h=0, e então
P=r(0)=(1,2,1)

Resposta

Uma forma paramétrica para t é
boxed t:;X=(1,2,1)+t,(1,-1,1), tinR
Em forma simétrica:
boxed x-11=y-2-1=z-11

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