Seja T: R^3 R^2 definida por
T(x, y, z)=(x+y+z, 2 x-3 y+4 z)
Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define Tcolon R^3toR^2 por
T(x,y,z) = (,x+y+z,;2x-3y+4z,)
Para mostrar que T é linear, precisamos verificar duas propriedades para quaisquer vetores u,vinR^3 e qualquer escalar alphainR:
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade)
  2. T(alpha u)=alpha,T(u) (homogeneidade)

Passo 2

Sejam
u = (x1,y1,z1), v = (x2,y2,z2)
Então
u+v = (,x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,),
e
T(u+v) = l((x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2),;2(x1+x2)-3(y1+y2)+4(z1+z2)r)
Reagrupando termos,
T(u+v) = l(x1+y1+z1,;2x1-3y1+4z1r) + l(x2+y2+z2,;2x2-3y2+4z2r) = T(u) + T(v)

Passo 3

Seja alphainR e u=(x,y,z). Então
alpha u = (alpha x,;alpha y,;alpha z),
T(alpha u) = l(alpha x+alpha y+alpha z,;2(alpha x)-3(alpha y)+4(alpha z)r) = alpha,(x+y+z,;2x-3y+4z) = alpha,T(u)

Resposta

Como T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.

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