Determine o volume da região delimitada pelo plano x y, pelo cilindro (x-1)^2+y^2=1 e pelo parabolóide z=x^2+y^2.
Sugestão:
integral cos ^n u d u=1n cos ^n-1 u sen u+n-1n integral cos ^n-2 u d u

Passo 1

O enunciado pede o volume da região que fica acima do plano z=0, abaixo do paraboloide z=x^2+y^2 e dentro do cilindro reto (x-1)^2+y^2=1. Vamos usar integração dupla sobre a projeção no plano xy e depois mudar para coordenadas polares para simplificar.

Passo 2

A região projetada no plano xy é
D=(x,y)mid (x-1)^2+y^2<=1
O volume é
V=integral duplaD l(x^2+y^2r),dA

Passo 3

Em coordenadas polares definimos x=rcostheta, y=rsintheta. A condição (rcostheta-1)^2+(rsintheta)^2<=1 leva a
r^2-2rcostheta<=0 Longrightarrow 0<= r<=2costheta,
com -tfracpi2<=theta<=tfracpi2. O elemento de área é dA=r,dr,dtheta e x^2+y^2=r^2. Logo
V =integraltheta=-pi2^pi2!integralr=0^2costhetar^2,(r,dr,dtheta) =integral-pi2^pi2integral0^2costhetar^3,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
integral0^2costhetar^3,dr =[r^44]0^2costheta =(2costheta)^44 =4cos^4theta
Portanto
V =integral-pi2^pi24cos^4theta,dtheta =8integral0^pi2cos^4theta,dtheta
(usando simetria de cos^4theta).

Passo 5

Para avaliar integral0^pi2cos^4theta,dtheta usamos a fórmula de redução sugerida com n=4:
integralcos^4u,du =14cos^3usin u+34integralcos^2u,du
Em 0 e tfracpi2 o termo cos^3usin u anula-se, e
integral0^pi2cos^2u,du =12l[u+sin ucos ur]0^pi2 =pi4
Logo
integral0^pi2cos^4theta,dtheta =34cdotpi4 =3pi16
Substituindo em V:
V=8cdot3pi16 =3pi2

Resposta

V=3pi2

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