Determine o volume da região delimitada pelo plano
, pelo cilindro
e pelo parabolóide
.
Sugestão:
Sugestão:
Passo 1
O enunciado pede o volume da região que fica acima do plano
, abaixo do paraboloide
e dentro do cilindro reto
. Vamos usar integração dupla sobre a projeção no plano
e depois mudar para coordenadas polares para simplificar.
Passo 2
A região projetada no plano
é
O volume é
Passo 3
Em coordenadas polares definimos
,
. A condição
leva a
com
. O elemento de área é
e
. Logo
Passo 4
Calculamos primeiro a integral em
:
Portanto
(usando simetria de
).
Passo 5
Para avaliar
usamos a fórmula de redução sugerida com
:
Em
e
o termo
anula-se, e
Logo
Substituindo em
: