Determine o volume do sólido delimitado pelo plano x y, o cilindro x^2+y^2=2 y e o cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo plano z=0, pelo cilindro
x^2+y^2=2y
e pelo cone
z=raizx^2+y^2
Para resolver, vamos usar coordenadas polares (r,theta,z), em que
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
pois a projeção do sólido no plano xy é dada por um círculo em coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares, o cilindro fica
r^2=2rsintheta Longrightarrow r=2sintheta,
e o cone é simplesmente
z = raizr^2 = r(r>=0)
A região projetada no plano xy é
0<= r<= 2sintheta, 0<=theta<=pi,
pois sintheta>=0 só para thetain[0,pi].

Passo 3

O volume pode ser escrito como
V = integral duplaDl(integralz=0^z=rdzr),dA =integral duplaDr,dA
Em coordenadas polares dA = r,dr,dtheta, logo
V = integraltheta=0^piintegralr=0^2sinthetarcdot r,dr,dtheta =integral0^piintegral0^2sinthetar^2,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integral0^2sinthetar^2,dr =[r^33]0^2sintheta =(2sintheta)^33 =8sin^3theta3
Então
V = integral0^pi8sin^3theta3,dtheta =83integral0^pisin^3theta,dtheta

Passo 5

Usamos o resultado
integral0^pisin^3theta,dtheta =43
Portanto
V = 83cdot43 =329

Resposta

V = 329

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