Verifique se os campos de vetores abaixo são conservativos e, em caso afirmativo, encontre o seu potencial:
F(x, y)=(-2 x y(x^2+1)^2+1y^2+1) i+(-2 x y(y^2+1)^2+1x^2+1) j;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y) = gl(P(x,y),,Q(x,y)gr)
com
P(x,y)=-2xy(x^2+1)^2+1y^2+1, Q(x,y)=-2xy(y^2+1)^2+1x^2+1
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que nablaphi=F. Vamos usar o teste partial Ppartial y = partial Qpartial x e depois integrar.

Passo 2

Calculamos
partial Ppartial y =partialpartial yl(-2xy(x^2+1)^2r) +partialpartial yl(1y^2+1r) =-2x(x^2+1)^2-2y(y^2+1)^2,
e
partial Qpartial x =partialpartial xl(-2xy(y^2+1)^2r) +partialpartial xl(1x^2+1r) =-2y(y^2+1)^2-2x(x^2+1)^2
Como partial Ppartial y=partial Qpartial x em todo o domínio (que é simplesmente conexo), o campo é conservativo.

Passo 3

Como F=nablaphi, temos phix = P. Integramos
phi(x,y)=integral!l(-2xy(x^2+1)^2+1y^2+1r),dx
Separando termos,
integral-2xy(x^2+1)^2,dx =-2yintegralx(x^2+1)^2,dx =-2yl(-12(x^2+1)r) =yx^2+1,
e
integral1y^2+1,dx =xy^2+1
Logo,
phi(x,y)=yx^2+1+xy^2+1+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Impondo phiy = Q, calculamos
phiy =partialpartial yl(yx^2+1r) +partialpartial yl(xy^2+1r) +h'(y) =1x^2+1-2xy(y^2+1)^2+h'(y)
Isso deve ser igual a
Q=-2xy(y^2+1)^2+1x^2+1.
Comparando, vê-se que h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Resposta

O campo é conservativo e uma função potencial é
phi(x,y) =yx^2+1+xy^2+1+C,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados