Verifique se os campos de vetores abaixo são conservativos e, em caso afirmativo, encontre o seu potencial:
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
com
com
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
. Vamos usar o teste
e depois integrar.
Passo 2
Calculamos
e
Como
em todo o domínio (que é simplesmente conexo), o campo é conservativo.
Passo 3
Como
, temos
. Integramos
Separando termos,
e
Logo,
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Impondo
, calculamos
Isso deve ser igual a
.
Comparando, vê-se que , logo
é constante.
Comparando, vê-se que
Resposta
O campo é conservativo e uma função potencial é
onde
é constante arbitrária.