Verifique se os campos de vetores abaixo são conservativos e, em caso afirmativo, encontre o seu potencial:
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo
é conservativo em (que é um domínio simplesmente conectado) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
. Para isso vamos usar o critério de que um campo definido em domínio simplesmente conectado é conservativo se, e somente se, o seu rotor (curl) for o vetor nulo.
é conservativo em
Passo 2
Escrevemos
com
O rotor de
em coordenadas cartesianas é
Passo 3
Calculamos cada componente do rotor:
Logo
que não é o vetor nulo em geral.
Passo 4
Como
em
, concluímos que
não é conservativo. Portanto não existe potencial global
tal que
.
Resposta
O campo não é conservativo e não possui função potencial em todo
.