Verifique se os campos de vetores abaixo são conservativos e, em caso afirmativo, encontre o seu potencial:
F(x, y, z)=y z i+x z j;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo
F(x,y,z)=y,z,i+x,z,j+0,k
é conservativo em R^3 (que é um domínio simplesmente conectado) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi tal que nablaphi=F. Para isso vamos usar o critério de que um campo definido em domínio simplesmente conectado é conservativo se, e somente se, o seu rotor (curl) for o vetor nulo.

Passo 2

Escrevemos F=(P,Q,R) com
P(x,y,z)=y,z, Q(x,y,z)=x,z, R(x,y,z)=0
O rotor de F em coordenadas cartesianas é
nablatimesF =l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial yr)

Passo 3

Calculamos cada componente do rotor:
partial Rpartial y-partial Qpartial z =0-partial (x,z)partial z =0 - x =-x,
partial Ppartial z-partial Rpartial x =partial (y,z)partial z-0 =y,
partial Qpartial x-partial Ppartial y =partial (x,z)partial x-partial (y,z)partial y =z - z =0
Logo
nablatimesF=(-x,;y,;0),
que não é o vetor nulo em geral.

Passo 4

Como nablatimesFneq0 em R^3, concluímos que F não é conservativo. Portanto não existe potencial global phi tal que nablaphi=F.

Resposta

O campo não é conservativo e não possui função potencial em todo R^3.

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