O enunciado pede: esboçar o diagrama de Bode (magnitude e fase) do sistema
H(s)=\frac{(s+1)^{2}}{s(s+10)(s+100)}.
Informações dadas e pontos importantes extraídos do enunciado:
Zeros: dois zeros em s=-1 (zero duplo em \omega_{z}=1).
Polos: um polo em s=0 (polo na origem, \omega=0), um polo em s=-10 (\omega_{p1}=10) e um polo em s=-100 (\omega_{p2}=100).
Os “pontos de quebra” (frequências onde o comportamento assintótico muda) são \omega=1,\;10,\;100. O polo na origem afeta todas as frequências.
Pedido: desenhar (esboçar) magnitude (em dB) versus \omega (eixo log) e fase (em graus) versus \omega (eixo log), com as linhas assintóticas e indicação dos efeitos dos polos/zeros.
Passo 2
Vamos decompor H(j\omega) em fatores e escrever magnitude e fase em formas que a gente use para o Bode:
Magnitude de um fator de primeira ordem (j\omega+a): |j\omega+a|=\sqrt{a^{2}+\omega^{2}}.
Em dB: 20\log_{10}|j\omega+a|=20\log_{10}\sqrt{a^{2}+\omega^{2}}=10\log_{10}(a^{2}+\omega^{2}).
Fase de (j\omega+a): \angle (j\omega+a)=\arctan\!\left(\frac{\omega}{a}\right) (em graus, usar conversão).
Polo na origem (j\omega): magnitude |j\omega|=\omega; em dB: 20\log_{10}\omega; fase contínua -90^\circ (porque \angle j\omega=+90^\circ, mas como é denom., soma -90^\circ).
Cada zero (s+a) contribui a partir de sua frequência de quebra \omega=a com +20 dB/dec (por zero) na magnitude assintótica e +90^\circ de fase total (0° → +90° ao atravessar uma década antes até uma década depois do polo/zero, no método aproximado). Dois zeros iguais somam +40 dB/dec e +180^\circ.
Cada polo real simples contribui com -20 dB/dec e -90^\circ de fase total.
Vou usar essas regras para construir as linhas assintóticas do Bode e também dar valores exatos em pontos-chave (para ancorar o esboço).
Passo 3
Encontrar os ganhos/sinclinas assintóticas por faixa de frequência (contando contribuição de cada polo/zero):
Para \omega\ll 1: apenas o polo na origem atua (os zeros em \omega=1 ainda não aumentaram). Slope total = -20 dB/dec (polo em s=0).
Para 1<\omega<10: os dois zeros em \omega=1 já “entraram” e cada um dá +20 dB/dec, ou seja +40 dB/dec no total; somando com o polo na origem (-20 dB/dec) resulta em slope total +20 dB/dec.
Para 10<\omega<100: soma das contribuições: polo em origem -20, zeros em 1 +40, polo em 10 -20 → slope total 0 dB/dec (plano horizontal assintótico).
Para \omega>100: soma: -20 (origem) +40 (zeros) -20 (polo em 10) -20 (polo em 100) = -20 dB/dec.
Às baixas frequências a magnitude cresce sem limite (porque há um polo na origem: |H|\approx 1/(1000\omega) para \omega\ll1). Usando a aproximação para \omega\ll1: |H|\approx\frac{1}{1000\omega}. Daí a estimativa do cruzamento em 0 dB: \frac{1}{1000\omega}=1 \Rightarrow \omega\approx 10^{-3}. Ou seja, a resposta passa por 0 dB aproximadamente em \omega\approx 10^{-3} (isso ajuda a posicionar o eixo vertical no esboço).
Nota: as magnitudes exatas em 10 e 100 são próximas (≈-43 dB), consistente com o trecho 10<\omega<100 ter slope 0 dB/dec.
Passo 5
Agora a fase: expressão exata e cálculo em pontos úteis.
Fórmula exata (em graus):
Explicação: cada zero (j\omega+1) dá \arctan(\omega/1) de fase; há dois zeros (multiplicar por 2). O termo j\omega na denom. é sempre -90^\circ. Os polos em 10 e 100 subtraem arctan(\omega/10) e arctan(\omega/100), respectivamente.
Calculemos valores aproximados (graus) em frequências de interesse:
\omega\to 0:\angle H\to -90^\circ (polo na origem domina).
\omega\to\infty: cada zero dá +90^\circ (total +180^\circ); os três polos dão -270^\circ no denom. Resultado limite -90^\circ. Portanto a fase começa perto de -90^\circ, varia (pode subir até valores positivos) e no final volta para -90^\circ. Os valores calculados acima mostram esse “sobe e desce”.
Passo 6
Como esboçar passo a passo (instruções práticas para a prova):
Eixo log de frequência, marque décadas: 10^{-4},10^{-3},10^{-2},10^{-1},1,10,10^{2},10^{3}.
Marque as frequências de quebra em \omega=1,\;10,\;100.
Magnitude (dB):
Trace uma linha assintótica com slope -20 dB/dec para \omega<1. Posicione-a usando o ponto aproximado de 0 dB em \omega\approx 10^{-3} (estimativa obtida com |H|\approx 1/(1000\omega)), ou usando o valor exato em \omega=1: -54{,}0 dB (então vá traçando a linha com as inclinações determinadas nas faixas).
Em \omega=1 a inclinação muda em +40 dB/dec (dois zeros), então para 1<\omega<10 a inclinação assintótica fica +20 dB/dec.
Em \omega=10 subtrai-se 20 dB/dec (polo em 10), ficando 0 dB/dec para 10<\omega<100 (linha horizontal assintótica).
Em \omega=100 subtrai-se mais 20 dB/dec (polo em 100), resultando em -20 dB/dec para \omega>100.
Pontos exatos úteis para ancorar: 20\log_{10}|H(j1)|\approx -54{,}0 dB, 20\log_{10}|H(j10)|\approx -43{,}0 dB, 20\log_{10}|H(j100)|\approx -43{,}0 dB.
Fase (graus):
Comece em -90^\circ para \omega\ll 1.
A fase dos zeros em \omega=1 começa a aumentar aproximadamente uma década antes (≈0,1) e termina uma década depois (≈10). Cada zero gera uma subida total de +90^\circ; dois zeros juntos sobem +180^\circ na faixa [0{,}1,10] no modelo aproximado (linha de 45°/década por zero).
O polo em 10 inicia sua transição descendente uma década antes (≈1) e termina uma década depois (≈100), cada polo causando -90^\circ de variação (pelo método aproximado).
O polo em 100 atua entre 10 e 1000.
Use os valores exatos calculados (por exemplo, \angle H(j0{,}1)\approx -79{,}2^\circ, \angle H(j1)\approx -6{,}3^\circ, \angle H(j10)\approx +27{,}9^\circ, \angle H(j100)\approx -40{,}4^\circ, \angle H(j1000)\approx -83{,}8^\circ) para ajustar o esboço da curva de fase, já que ela não segue perfeitamente as linhas de 45°/década idealizadas.
Etiquete claramente as inclinações e os pontos de quebra no seu gráfico. Mostre as linhas assintóticas e, se quiser maior precisão, marque os pontos exatos calculados e desenhe uma curva suave que passe por eles aproximando-se das assíntotas.
Dica moral: no exame, desenhe primeiro as assíntotas (magnitude) e as inclinações, depois a fase com os efeitos combinados (começando em -90^\circ e lembrando que no infinito a fase volta para -90^\circ). Use os pontos numéricos (1, 10, 100) para “corrigir” o esboço.
Desenhe magnitude assintótica com as inclinações listadas, usando \,0\\ \text{dB}\] em \(\omega\approx 10^{-3} como referência aproximada para o trecho de baixa frequência e ajustando com os pontos exatos em \omega=1,10,100.
Desenhe a fase começando em -90^\circ (baixo \omega), passando pelos valores indicados, e voltando assintoticamente para -90^\circ em \omega\to\infty.]