Encontre a solução da equação diferencial.
y^prime prime-2y^prime-24y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me mandou:
y'' - 2y' - 24y = 0
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares homogêneas e encontrar as raízes da equação característica para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial do tipo:
y'' + a y' + b y = 0
A equação característica é:
r^2 + a r + b = 0
No nosso caso, comparando com a equação dada:
y'' - 2y' - 24y = 0
Temos que a = -2 e b = -24. Então, a equação característica fica:
r^2 - 2 r - 24 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -B pm raizB^2 - 4AC2A
Aqui, A = 1, B = -2 e C = -24. Substituindo:
r = -(-2) pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-24)2 cdot 1
r = 2 pm raiz4 + 962
r = 2 pm raiz1002
r = 2 pm 102

Passo 4

Então, temos duas soluções para r:
r1 = 2 + 102 = 6
r2 = 2 - 102 = -4
As raízes são reais e distintas, o que significa que a solução geral da equação diferencial será uma combinação linear das exponenciais dessas raízes.

Passo 5

A solução geral para a equação diferencial quando temos raízes reais e distintas r1 e r2 é:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Onde C1 e C2 são constantes que determinam as condições iniciais ou de contorno.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^6x + C2 e^-4x

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