Encontre a solução da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me mandou:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar usar a teoria das equações diferenciais lineares homogêneas e encontrar as raízes da equação característica para achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial do tipo:
A equação característica é:
No nosso caso, comparando com a equação dada:
Temos que
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Passo 4
Então, temos duas soluções para
:
As raízes são reais e distintas, o que significa que a solução geral da equação diferencial será uma combinação linear das exponenciais dessas raízes.
Passo 5
A solução geral para a equação diferencial quando temos raízes reais e distintas
e
é:
Onde
e
são constantes que determinam as condições iniciais ou de contorno.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: