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Determine o volume dos seguintes sólidos;
(a) Limitado superiormente por z=x^2+y^2 e inferiormente pela região limitada por y=x^2 e x=y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está abaixo da superfície z = x^2 + y^2 e acima da região R no plano xy limitada pelas curvas y = x^2 e x = y^2. Para resolver, vamos usar integração dupla em coordenadas cartesianas aplicando V = integral duplaR (x^2 + y^2),dA.

Passo 2

Para descrever a região R, encontramos a interseção de y = x^2 e x = y^2: substituindo y = x^2 em x = y^2 x = (x^2)^2 = x^4, ou seja x(x^3-1)=0, logo x=0 ou x=1. Em [0,1], temos x^2 <= y <= raizx.

Passo 3

Montamos então o volume como
V = integralx=0^1 integraly=x^2^raizx l(x^2 + y^2r),dy,dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integraly=x^2^raizx l(x^2 + y^2r),dy = x^2l(raizx-x^2r) + (raizx)^3 - (x^2)^33 = x^5/2 - x^4 + x^3/23 - x^63

Passo 5

Agora integramos em x de 0 a 1:
V = integral0^1 l(x^5/2 - x^4 + tfracx^3/23 - tfracx^63r),dx = 27 - 15 + 215 - 121 = 635

Resposta

635

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