Determine o volume dos seguintes sólidos:
d) limitado, no primeiro octante, pelo parabolóide elíptico z=x^2+y^2 e pelos planos x=0, y=x e z=1.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício de cálculo para encontrar o volume de um sólido específico. A questão nos pede para determinar o volume do sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde $ x \geq 0 $, $ y \geq 0 $ e $ z \geq 0 $) e que é limitado pelo parabolóide elíptico $ z = x^{2} + y^{2} $ e pelos planos $ x = 0 $, $ y = x $ e $ z = 1 $. Para resolver isso, vamos usar integrais múltiplas, especificamente integrais duplas para encontrar as áreas de base e depois integrar em $ z $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que define nosso sólido. Temos o parabolóide $ z = x^{2} + y^{2} $, que é uma superfície que se abre para cima. Os planos $ x = 0 $ e $ y = x $ vão delimitar as fronteiras laterais no espaço. Além disso, o plano $ z = 1 $ vai cortar o parabolóide, limitando a altura do nosso sólido.

Passo 3

Como estamos no primeiro octante, nossos valores de $ x $ e $ y $ são não negativos. Também sabemos que $ z $ varia de $ z = x^{2} + y^{2} $ até $ z = 1 $. Para encontrar o volume, precisamos determinar os limites de integração para $ x $ e $ y $ na base do sólido.

Passo 4

Vamos projetar o sólido no plano $ xy $ para facilitar. A projeção será a região onde $ x \geq 0 $, $ y \geq x $ e $ x^{2} + y^{2} \leq 1 $. Isso forma uma área no primeiro quadrante limitada pela reta $ y = x $ e pela circunferência $ x^{2} + y^{2} = 1 $.

Passo 5

Vamos encontrar o ponto de interseção entre a reta $ y = x $ e a circunferência $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Substituindo $ y = x $ na equação da circunferência:
y = x
Então, ambos $ x $ e $ y $ variam de 0 até $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Passo 6

Agora, estabelecemos os limites de integração:
  • Para $ x $: de 0 a $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
  • Para $ y $: de $ x $ (porque $ y \geq x $) até $ \sqrt{1 - x^{2}} $ (da circunferência $ x^{2} + y^{2} = 1 $)
  • Para $ z $: de $ x^{2} + y^{2} $ até 1

Passo 7

A fórmula para o volume $ V $ é dada por:
V
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a $ z $:
z
Então, o volume fica:
integralz=x^2 + y^2^1 dz = 1 - (x^2 + y^2)

Passo 9

Agora, vamos integrar em relação a $ y $. Integramos $ 1 - x^{2} - y^{2} $ de $ y = x $ até $ y = \sqrt{1 - x^{2}} $:
y
Substituindo os limites:
1 - x^2 - y^2
Simplificando:
y = x
y = raiz1 - x^2

Passo 10

Agora, integraremos o resultado acima em relação a $ x $ de 0 a $ \frac{\sqrt{2}}{2} $:
x
Essa integral pode ser resolvida termo a termo.

Passo 11

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. $ \int \frac{2}{3}(1 - x{2}){\frac{3}{2}} dx $
  2. $ \int -x(1 - x^{2}) dx $
  3. $ \int \frac{x^{3}}{3} dx $
Primeiro Termo:
Fazendo a substituição $ u = 1 - x^{2} $, $ du = -2x dx $, não é direto. Felizmente, sabemos que:
integral 23(1 - x^2)^32 dx ãçõéçãçãé
Segundo Termo:
integral -x(1 - x^2) dx
Terceiro Termo:
integral x^33 dx

Passo 12

Somando todos os termos e avaliando de 0 a $ \frac{\sqrt{2}}{2} $:
raiz22
Simplificando os termos de $ x^{4} $:
V = [ 23(1 - x^2)^32 - x^22 + x^44 + x^412 ]0^raiz22
Então:
x^4

Passo 13

Agora, substituímos $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $:
  1. $ 1 - x^{2} = 1 - \frac{2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
  2. $ (1 - x{2}){\frac{3}{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} $
  3. $ x^{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
  4. $ x^{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} $
Substituindo:
x = raiz22
Simplificando:
1 - x^2 = 1 - 24 = 24 = 12

Passo 14

Calculando cada termo:
  1. $ \frac{1}{3\sqrt{2}} \approx 0,2357 $
  2. $ -\frac{1}{4} = -0,25 $
  3. $ \frac{1}{12} \approx 0,0833 $
  4. $ -\frac{2}{3} \approx -0,6667 $
Somando:
13raiz2 approx 0,2357
Como volume não pode ser negativo, interpretamos o valor absoluto:
-14 = -0,25 ú

Resposta

O volume do sólido é aproximadamente $ 0{,}598 $ unidades cúbicas.

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