Determine o volume dos seguintes sólidos:
d) limitado, no primeiro octante, pelo parabolóide elíptico
e pelos planos
e
.
d) limitado, no primeiro octante, pelo parabolóide elíptico
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver um exercício de cálculo para encontrar o volume de um sólido específico. A questão nos pede para determinar o volume do sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde $ x \geq 0 $, $ y \geq 0 $ e $ z \geq 0 $) e que é limitado pelo parabolóide elíptico $ z = x^{2} + y^{2} $ e pelos planos $ x = 0 $, $ y = x $ e $ z = 1 $. Para resolver isso, vamos usar integrais múltiplas, especificamente integrais duplas para encontrar as áreas de base e depois integrar em $ z $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que define nosso sólido. Temos o parabolóide $ z = x^{2} + y^{2} $, que é uma superfície que se abre para cima. Os planos $ x = 0 $ e $ y = x $ vão delimitar as fronteiras laterais no espaço. Além disso, o plano $ z = 1 $ vai cortar o parabolóide, limitando a altura do nosso sólido.
Passo 3
Como estamos no primeiro octante, nossos valores de $ x $ e $ y $ são não negativos. Também sabemos que $ z $ varia de $ z = x^{2} + y^{2} $ até $ z = 1 $. Para encontrar o volume, precisamos determinar os limites de integração para $ x $ e $ y $ na base do sólido.
Passo 4
Vamos projetar o sólido no plano $ xy $ para facilitar. A projeção será a região onde $ x \geq 0 $, $ y \geq x $ e $ x^{2} + y^{2} \leq 1 $. Isso forma uma área no primeiro quadrante limitada pela reta $ y = x $ e pela circunferência $ x^{2} + y^{2} = 1 $.
Passo 5
Vamos encontrar o ponto de interseção entre a reta $ y = x $ e a circunferência $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Substituindo $ y = x $ na equação da circunferência:
Então, ambos $ x $ e $ y $ variam de 0 até $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Passo 6
Agora, estabelecemos os limites de integração:
- Para $ x $: de 0 a $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
- Para $ y $: de $ x $ (porque $ y \geq x $) até $ \sqrt{1 - x^{2}} $ (da circunferência $ x^{2} + y^{2} = 1 $)
- Para $ z $: de $ x^{2} + y^{2} $ até 1
Passo 7
A fórmula para o volume $ V $ é dada por:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 8
Primeiro, integramos em relação a $ z $:
Então, o volume fica:
Passo 9
Agora, vamos integrar em relação a $ y $. Integramos $ 1 - x^{2} - y^{2} $ de $ y = x $ até $ y = \sqrt{1 - x^{2}} $:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 10
Agora, integraremos o resultado acima em relação a $ x $ de 0 a $ \frac{\sqrt{2}}{2} $:
Essa integral pode ser resolvida termo a termo.
Passo 11
Vamos calcular cada parte separadamente:
- $ \int \frac{2}{3}(1 - x{2}){\frac{3}{2}} dx $
- $ \int -x(1 - x^{2}) dx $
- $ \int \frac{x^{3}}{3} dx $
Primeiro Termo:
Fazendo a substituição $ u = 1 - x^{2} $, $ du = -2x dx $, não é direto. Felizmente, sabemos que:
Segundo Termo:
Terceiro Termo:
Passo 12
Somando todos os termos e avaliando de 0 a $ \frac{\sqrt{2}}{2} $:
Simplificando os termos de $ x^{4} $:
Então:
Passo 13
Agora, substituímos $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $:
- $ 1 - x^{2} = 1 - \frac{2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
- $ (1 - x{2}){\frac{3}{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} $
- $ x^{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
- $ x^{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4} $
Substituindo:
Simplificando:
Passo 14
Calculando cada termo:
- $ \frac{1}{3\sqrt{2}} \approx 0,2357 $
- $ -\frac{1}{4} = -0,25 $
- $ \frac{1}{12} \approx 0,0833 $
- $ -\frac{2}{3} \approx -0,6667 $
Somando:
Como volume não pode ser negativo, interpretamos o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido é aproximadamente $ 0{,}598 $ unidades cúbicas.