Determine o volume dos seguintes sólidos:
d) entre o parabolóide elíptico z=x^2+(y-2)^2+2 e os planos x=1, x=-1, y=0 e y=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o volume do sólido formado entre o parabolóide elíptico $ z = x^{2} + (y-2)^{2} + 2 $ e os planos $ x=1 $, $ x=-1 $, $ y=0 $ e $ y=4 $. Vamos usar cálculo integral para achar esse volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região sobre a qual vamos integrar. Os planos $ x=1 $ e $ x=-1 $ definem os limites para $ x $, e $ y=0 $ e $ y=4 $ definem os limites para $ y $. Então, a área de integração será $ -1 \leq x \leq 1 $ e $ 0 \leq y \leq 4 $.

Passo 3

Agora, vamos identificar a função que define a altura do sólido em cada ponto $ (x, y) $. Essa função é dada pelo parabolóide $ z = x^{2} + (y-2)^{2} + 2 $. Essa expressão nos dá a altura $ z $ em termos de $ x $ e $ y $.

Passo 4

Para encontrar o volume, vamos integrar a função $ z $ sobre a região definida. A integral dupla será:
z

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a $ y $:
y
Resolvendo cada parte:
integral0^4 ( x^2 + (y-2)^2 + 2 ) , dy = integral0^4 x^2 , dy + integral0^4 (y-2)^2 , dy + integral0^4 2 , dy
= x^2 cdot (4 - 0) + [ (y-2)^33 ]0^4 + 2 cdot (4 - 0)
= 4x^2 + ( (4-2)^33 - (0-2)^33 ) + 8
= 4x^2 + ( 83 - ( -83 ) ) + 8
= 4x^2 + 163 + 8

Passo 6

Agora, integramos essa expressão resultante em relação a $ x $:
x
Volume = integral-1^1 ( 4x^2 + 403 ) , dx
Resolvendo cada integral:
= 4 integral-1^1 x^2 , dx + 403 integral-1^1 1 , dx
= 4 [ x^33 ]-1^1 + 403 cdot (1 - (-1))
= 4 ( 13 - ( -13 ) ) + 403 cdot 2
= 4 cdot 23 + 803
= 83 + 803

Resposta

O volume do sólido é $ \frac{88}{3} $ unidades cúbicas.

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