Determine o volume dos seguintes sólidos:
d) entre o parabolóide elíptico
e os planos
e
.
d) entre o parabolóide elíptico
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o volume do sólido formado entre o parabolóide elíptico $ z = x^{2} + (y-2)^{2} + 2 $ e os planos $ x=1 $, $ x=-1 $, $ y=0 $ e $ y=4 $. Vamos usar cálculo integral para achar esse volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região sobre a qual vamos integrar. Os planos $ x=1 $ e $ x=-1 $ definem os limites para $ x $, e $ y=0 $ e $ y=4 $ definem os limites para $ y $. Então, a área de integração será $ -1 \leq x \leq 1 $ e $ 0 \leq y \leq 4 $.
Passo 3
Agora, vamos identificar a função que define a altura do sólido em cada ponto $ (x, y) $. Essa função é dada pelo parabolóide $ z = x^{2} + (y-2)^{2} + 2 $. Essa expressão nos dá a altura $ z $ em termos de $ x $ e $ y $.
Passo 4
Para encontrar o volume, vamos integrar a função $ z $ sobre a região definida. A integral dupla será:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a $ y $:
Resolvendo cada parte:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão resultante em relação a $ x $:
Resolvendo cada integral:
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{88}{3} $ unidades cúbicas.