Determine o volume do sólido que está abaixo de
, dentro de
, e acima de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de cálculo de volume juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está abaixo da superfície $ z = 1 - x^{2} - y^{2} $, dentro da curva $ x^{2} + y^{2} = x $, e acima do plano $ z = 0 $. Para isso, vamos usar cálculo integral em coordenadas polares, que é uma técnica útil para lidar com regiões circulares ou arredondadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos calcular o volume. A equação $ x^{2} + y^{2} = x $ é a equação de um círculo. Para simplificar, podemos rearranjá-la:
Completando o quadrado para $ x $:
Isso mostra que temos um círculo com centro em $ \left(\frac{1}{2}, 0\right) $ e raio $ \frac{1}{2} $.
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, $ x = r\cos\theta $ e $ y = r\sin\theta $. A equação do nosso círculo fica:
Simplificando:
Isso significa que $ r $ varia de 0 até $ \cos\theta $, e $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $ para descrever todo o círculo.
Passo 4
A função que representa a altura do sólido é $ z = 1 - x^{2} - y^{2} $. Em coordenadas polares, isso fica:
Como estamos calculando o volume acima de $ z = 0 $ e abaixo de $ z = 1 - r^{2} $, a altura do elemento de volume é $ 1 - r^{2} $.
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume $ V $:
Aqui, o $ r $ extra vem do elemento de área em coordenadas polares ($ r , dr , d\theta $).
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a $ r $:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Agora, a integral externa fica:
Essa integral é simétrica, então podemos calcular de 0 a $ \frac{\pi}{2} $ e multiplicar por 2:
Passo 8
Para integrar $ \cos^{2}\theta $ e $ \cos^{4}\theta $, usamos as fórmulas de redução:
Aplicando os limites de 0 a $ \frac{\pi}{2} $:
Para $ \cos^{2}\theta $:
Para $ \cos^{4}\theta $:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido é $ \dfrac{5\pi}{32} $ unidades cúbicas.