Determine o volume do sólido que está abaixo de z=1-x^2-y^2, dentro de x^2+y^2=x, e acima de z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de cálculo de volume juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que está abaixo da superfície $ z = 1 - x^{2} - y^{2} $, dentro da curva $ x^{2} + y^{2} = x $, e acima do plano $ z = 0 $. Para isso, vamos usar cálculo integral em coordenadas polares, que é uma técnica útil para lidar com regiões circulares ou arredondadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos calcular o volume. A equação $ x^{2} + y^{2} = x $ é a equação de um círculo. Para simplificar, podemos rearranjá-la:
x^2 + y^2 = x
Completando o quadrado para $ x $:
x^2 - x + y^2 = 0
Isso mostra que temos um círculo com centro em $ \left(\frac{1}{2}, 0\right) $ e raio $ \frac{1}{2} $.

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, $ x = r\cos\theta $ e $ y = r\sin\theta $. A equação do nosso círculo fica:
x = rcostheta
Simplificando:
y = rsintheta
Isso significa que $ r $ varia de 0 até $ \cos\theta $, e $ \theta $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $ para descrever todo o círculo.

Passo 4

A função que representa a altura do sólido é $ z = 1 - x^{2} - y^{2} $. Em coordenadas polares, isso fica:
z = 1 - x^2 - y^2
Como estamos calculando o volume acima de $ z = 0 $ e abaixo de $ z = 1 - r^{2} $, a altura do elemento de volume é $ 1 - r^{2} $.

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume $ V $:
V
Aqui, o $ r $ extra vem do elemento de área em coordenadas polares ($ r , dr , d\theta $).

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a $ r $:
r
Integrando termo a termo:
integral0^costheta (1 - r^2) cdot r , dr = integral0^costheta (r - r^3) , dr

Passo 7

Agora, a integral externa fica:
V = integral-pi2^pi2 ( cos^2theta2 - cos^4theta4 ) dtheta
Essa integral é simétrica, então podemos calcular de 0 a $ \frac{\pi}{2} $ e multiplicar por 2:
pi2

Passo 8

Para integrar $ \cos^{2}\theta $ e $ \cos^{4}\theta $, usamos as fórmulas de redução:
cos^2theta
cos^4theta
Aplicando os limites de 0 a $ \frac{\pi}{2} $:
Para $ \cos^{2}\theta $:
integral cos^2theta , dtheta = theta2 + sin 2theta4
Para $ \cos^{4}\theta $:
integral cos^4theta , dtheta = 3theta8 + sin 2theta4 + sin 4theta32

Passo 9

Substituindo de volta na expressão do volume:
V = 2 ( 12 cdot pi4 - 14 cdot 3pi16 ) = 2 ( pi8 - 3pi64 ) = 2 cdot 5pi64 = 5pi32

Resposta

O volume do sólido é $ \dfrac{5\pi}{32} $ unidades cúbicas.

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