Determine o volume do sólido S compreendido entre gráfico de f(x, y)=-x^2-y^2+10 e o retângulo e no plano R=(x, y, 0) ; 0 <= x <= 1.

Passo 1

A questão pede o volume do sólido abaixo da superfície definida por f(x,y)=−x²−y²+10 sobre o retângulo R={(x,y):0≤x≤1, 0≤y≤1}. O conteúdo é cálculo de volume via integração dupla, e vamos precisar montar ∫∫_R f(x,y) dA.

Passo 2

Escrevemos a integral dupla que dá o volume:
V=integral duplaR(-x^2 - y^2 + 10),dA =integralx=0^1integraly=0^1(-x^2 - y^2 + 10),dy,dx

Passo 3

Primeiro, integramos em y (mantendo x fixo). Lembrando que ∫0^1 y^2 dy = 1/3:
integraly=0^1(-x^2 - y^2 + 10),dy =(-x^2+10)integral0^1 dy - integral0^1 y^2 dy =-x^2 + 10 - tfrac13 = -x^2 + tfrac293

Passo 4

Agora, integramos em x de 0 a 1:
V=integral0^1l(-x^2 + tfrac293r),dx =l[-tfracx^33 + tfrac293xr]0^1 =-tfrac13+tfrac293 =tfrac283

Resposta

O volume do sólido S é 28/3.

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