Determine o volume do sólido S formado pelos pontos que estão, simultaneamente, abaixo do parabolóide z=-2 x^2-y^2+9 e acima do retângulo e no plano R=(x, y, 0) ; 0 <= x <= 1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S limitado acima pelo parabolóide z = -2x² - y² + 9 e abaixo pelo plano z = 0 sobre o retângulo R = {(x,y,0); 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}. O conteúdo principal é cálculo de volume por integral dupla de uma função z = f(x,y) sobre a região R.

Passo 2

Escrevemos o volume como a integral dupla
V = integral duplaR l(-2x^2 - y^2 + 9r),dA

Passo 3

Como R é o retângulo [0,1]×[0,1], podemos separar a integral:
V = integralx=0^1integraly=0^1 l(9 - 2x^2 - y^2r),dy,dx

Passo 4

Primeiro integramos em y:
integral0^1 (9 - 2x^2 - y^2),dy = l[9y - 2x^2y - y^33r]0^1 = 9 - 2x^2 - 13 = 263 - 2x^2

Passo 5

Agora integramos em x:
V = integral0^1 l(263 - 2x^2r),dx = l[263x - 2x^33r]0^1 = 263 - 23 = 243 = 8

Resposta

8

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