Determine o volume do sólido
formado pelos pontos que estão, simultaneamente, abaixo do parabolóide
e acima do retângulo e no plano
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido S limitado acima pelo parabolóide z = -2x² - y² + 9 e abaixo pelo plano z = 0 sobre o retângulo R = {(x,y,0); 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}. O conteúdo principal é cálculo de volume por integral dupla de uma função z = f(x,y) sobre a região R.
Passo 2
Escrevemos o volume como a integral dupla
Passo 3
Como R é o retângulo [0,1]×[0,1], podemos separar a integral:
Passo 4
Primeiro integramos em y:
Passo 5
Agora integramos em x:
Resposta
8