Calcule as integrais:
integralegral duplaD(x+y cos (y)) d A, D=(x, y) ; 0 <= x <= 1, 0 <= y <= pi2.

Passo 1

Neste exercício, queremos calcular a integral dupla integral duplaD(x+ycos y),dA, onde o domínio é o retângulo D=(x,y);0<= x<=1,;0<= y<=tfracpi2. O conteúdo principal envolve o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e o método de integração por partes.

Passo 2

Como D é um retângulo no plano, aplicamos o Teorema de Fubini e escrevemos a integral como iterada:
integral duplaD(x+ycos y),dA=integral0^1(integral0^pi2(x+ycos y),dy)dx
Dentro da integral interna, separamos em duas partes:
integral0^pi2x,dy+integral0^pi2ycos y,dy

Passo 3

Calculamos cada parte. Primeiro,
integral0^pi2x,dy = xl[yr]0^pi2 = xpi2
Para a segunda usamos integração por partes: escolha u=y, dv=cos y,dy Rightarrow du=dy, v=sin y. Assim,
integral0^pi2ycos y,dy = l[ysin yr]0^pi2 - integral0^pi2sin y,dy = pi2cdot1 -l[-cos yr]0^pi2 = pi2-1
Somando, o valor da integral interna é xtfracpi2+(tfracpi2-1).

Passo 4

Falta integrar em x:
integral0^1l(xtfracpi2+tfracpi2-1r)dx = pi2integral0^1x,dx +l(pi2-1r)integral0^1dx = pi2cdot12 +l(pi2-1r) = pi4+pi2-1 = 3pi4-1

Resposta

3pi4-1

Exercícios relacionados