Determine o volume do sólido
compreendido entre gráfico de
e o retângulo e no plano
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície f(x,y)=2x²+y²+1 e pelo retângulo R = {(x,y): 1≤x≤2, 1≤y≤3} no plano xy. O conteúdo é cálculo de volume via integrais duplas e vamos usar a definição de volume V = ∬_R f(x,y) dA.
Passo 2
Escrevemos o volume como integral iterada:
Passo 3
Calculamos primeiro a integral interna em y:
Aqui usamos que 2x²+1 é constante em relação a y e que
Passo 4
Avaliando em y de 1 a 3 obtemos:
Passo 5
Agora integramos em x:
Passo 6
Calculamos cada parte:
e
Multiplicando e somando:
e
Multiplicando e somando:
Resposta
20