Determine o volume do sólido S compreendido entre gráfico de f(x, y)=2 x^2+y^2+1 e o retângulo e no plano R=(x, y, 0) ; 1 <= x <= 2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície f(x,y)=2x²+y²+1 e pelo retângulo R = {(x,y): 1≤x≤2, 1≤y≤3} no plano xy. O conteúdo é cálculo de volume via integrais duplas e vamos usar a definição de volume V = ∬_R f(x,y) dA.

Passo 2

Escrevemos o volume como integral iterada:
V = integralx=1^2 integraly=1^3 l(2x^2 + y^2 + 1r) ,dy,dx

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integraly=1^3 l(2x^2 + y^2 + 1r) ,dy = integral1^3(2x^2+1),dy + integral1^3y^2,dy
Aqui usamos que 2x²+1 é constante em relação a y e que integral y²,dy = y³/3²³.

Passo 4

Avaliando em y de 1 a 3 obtemos:
(2x^2+1)(3-1) + l[y^33r]1^3 = 2(2x^2+1) + 27-13 = 4x^2 + 2 + 263 = 4x^2 + 323

Passo 5

Agora integramos em x:
V = integral1^2 l(4x^2 + 323r) ,dx = 4integral1^2x^2,dx + 323integral1^21,dx

Passo 6

Calculamos cada parte:
integral1^2x^2,dx = 2^3-1^33 = 73
e
integral1^21,dx = 1
Multiplicando e somando:
4cdot73 + 323cdot1 = 283 + 323 = 603 = 20

Resposta

20

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