Calcule as integrais:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
O conteúdo envolve separação de variáveis em integrais duplas e uso de propriedades de funções pares/ímpares.
Passo 2
Note que o integrando se separa em função de
multiplicada por função de
. Logo podemos escrever
[
\int_{-\pi}{\pi}\int_{\pi/4}{\pi/2}\frac{y\sin(y)\cos(x)}{\sin^3(x)},dx,dy
=\Bigl(\int_{\pi/4}{\pi/2}\frac{\cos(x)}{\sin3(x)},dx\Bigr);\Bigl(\int_{-\pi}^{\pi}y\sin(y),dy\Bigr).
\int_{-\pi}{\pi}\int_{\pi/4}{\pi/2}\frac{y\sin(y)\cos(x)}{\sin^3(x)},dx,dy
=\Bigl(\int_{\pi/4}{\pi/2}\frac{\cos(x)}{\sin3(x)},dx\Bigr);\Bigl(\int_{-\pi}^{\pi}y\sin(y),dy\Bigr).
Passo 3
Para calcular
, faça a substituição
,
. Então
A valoração de
a
dá
Passo 4
Para calcular
, note que
é função par (produto de ímpar por ímpar). Portanto
Use integração por partes em
: tome
,
. Então
Avaliando de 0 a
resulta
. Logo
.
Passo 5
Multiplicando os resultados das duas integrais temos
que é o valor da integral dupla pedida.
Resposta
\pi