Calcule as integrais:
integral-pi^pi integralpi / 4^pi / 2 y sen(y) cos (x)sen^3(x) d x d y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integraly=-pi^piintegralx=pi/4^pi/2y,sin(y)cos(x)sin^3(x),dx,dy
O conteúdo envolve separação de variáveis em integrais duplas e uso de propriedades de funções pares/ímpares.

Passo 2

Note que o integrando se separa em função de x multiplicada por função de y. Logo podemos escrever
[
\int_{-\pi}{\pi}\int_{\pi/4}{\pi/2}\frac{y\sin(y)\cos(x)}{\sin^3(x)},dx,dy
=\Bigl(\int_{\pi/4}{\pi/2}\frac{\cos(x)}{\sin3(x)},dx\Bigr);\Bigl(\int_{-\pi}^{\pi}y\sin(y),dy\Bigr).

Passo 3

Para calcular integralpi/4^pi/2cos(x)sin^3(x),dx, faça a substituição u=sin(x), du=cos(x),dx. Então
integralcos(x)sin^3(x),dx=integral u^-3,du=-12u^-2+C=-12sin^2(x)+C
A valoração de x=pi/4 a pi/2
l[-tfrac12sin^2(x)r]pi/4^pi/2=l(-tfrac12r)-l(-1r)=tfrac12

Passo 4

Para calcular integral-pi^piysin(y),dy, note que ysin(y) é função par (produto de ímpar por ímpar). Portanto
integral-pi^piysin(y),dy=2integral0^piysin(y),dy
Use integração por partes em integral0^piysin(y),dy: tome u=y, dv=sin(y)dy. Então
integral ysin(y),dy=-ycos(y)+sin(y)+C
Avaliando de 0 a pi resulta pi. Logo 2timespi=2pi.

Passo 5

Multiplicando os resultados das duas integrais temos
tfrac12times(2pi)=pi
que é o valor da integral dupla pedida.

Resposta

\pi

Exercícios relacionados