Determine o volume do sólido:
cortado da coluna quadrada
pelos planos
e
.
cortado da coluna quadrada
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido definido por
- na base da coluna: a região plana
dada por , que é um losango de vértices e ; - entre os planos
e .
O conteúdo usado será integral dupla e propriedades de simetria.
Passo 2
Primeiro, resolvemos para a altura do sólido em função de
. Da equação do plano superior temos
logo, para cada ponto
, a espessura vertical vai de
até
.
Passo 3
O volume pode ser escrito como
Este é um caso clássico de integral dupla sobre uma região plana.
Passo 4
Agora aplicamos linearidade da integral:
A primeira integral
é simplesmente a área de
, e a segunda é o momento em
.
Passo 5
Como
é simétrico em relação ao eixo
, o termo
. Além disso, a área de
(um losango de diagonais 2 e 2) vale
Portanto,
Resposta
6