Determine o volume do sólido:
cortado da coluna quadrada |x|+|y| <= 1 pelos planos z=0 e 3 x+z=3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido definido por
  • na base da coluna: a região plana D dada por |x|+|y| <= 1, que é um losango de vértices (pm1,0) e (0,pm1);
  • entre os planos z=0 e 3x+z=3.
    O conteúdo usado será integral dupla e propriedades de simetria.

Passo 2

Primeiro, resolvemos para a altura do sólido em função de (x,y). Da equação do plano superior temos
z=3-3x
logo, para cada ponto (x,y)in D, a espessura vertical vai de z=0 até z=3-3x.

Passo 3

O volume pode ser escrito como
V=integral duplaD l(3-3xr),dA
Este é um caso clássico de integral dupla sobre uma região plana.

Passo 4

Agora aplicamos linearidade da integral:
V=3integral duplaD 1,dA;- 3integral duplaD x,dA
A primeira integral integral duplaD 1,dA é simplesmente a área de D, e a segunda é o momento em x.

Passo 5

Como D é simétrico em relação ao eixo y, o termo integral duplaD x,dA=0. Além disso, a área de D (um losango de diagonais 2 e 2) vale
Área(D)=tfrac2cdot22=2 Á
Portanto,
V=3cdot2-3cdot0=6

Resposta

6

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