Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral dupla dada. O enunciado pede para esboçarmos a região de integração, invertermos a ordem de integração e, por fim, calcularmos a integral:
Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas e a técnica de inversão da ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração original. Temos
variando de 0 a 2, e para cada
,
varia de 0 a
. Isso significa que a região está limitada pelas curvas
(eixo x) e
.
Passo 3
Vamos esboçar essa região. A curva
é uma parábola aberta para baixo, interceptando o eixo y no ponto (0,4) e os pontos (2,0) e (-2,0). Mas como
varia de 0 a 2, nossa região está no primeiro quadrante, sob a parábola de
a
.
Passo 4
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Atualmente, estamos integrando com
de 0 a 2 e, para cada
,
de 0 a
. Para inverter, precisamos expressar
em termos de
.
Da equação
, isolamos
:
Passo 5
Com a ordem invertida,
agora varia de 0 a 4, e para cada
,
varia de 0 a
. Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Como
e
são constantes em relação a
, podemos tirar esses fatores da integral:
A integral de
em relação a
é:
Então,
Passo 7
Agora, a integral se simplifica para:
A integral de
em relação a
é:
Então,
Resposta
A integral vale
.