Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e Calcule a integral.
integral0^2 integral0^4-x^2 x e^2 y4-y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral dupla dada. O enunciado pede para esboçarmos a região de integração, invertermos a ordem de integração e, por fim, calcularmos a integral:
integral0^2 integral0^4-x^2 x e^2 y4-y , dy , dx
Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas e a técnica de inversão da ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração original. Temos x variando de 0 a 2, e para cada x, y varia de 0 a 4 - x^2. Isso significa que a região está limitada pelas curvas y = 0 (eixo x) e y = 4 - x^2.

Passo 3

Vamos esboçar essa região. A curva y = 4 - x^2 é uma parábola aberta para baixo, interceptando o eixo y no ponto (0,4) e os pontos (2,0) e (-2,0). Mas como x varia de 0 a 2, nossa região está no primeiro quadrante, sob a parábola de x = 0 a x = 2.

Passo 4

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Atualmente, estamos integrando com x de 0 a 2 e, para cada x, y de 0 a 4 - x^2. Para inverter, precisamos expressar x em termos de y.
Da equação y = 4 - x^2, isolamos x:
x = raiz4 - y

Passo 5

Com a ordem invertida, y agora varia de 0 a 4, e para cada y, x varia de 0 a raiz4 - y. Então, a integral fica:
integral0^4 integral0^raiz4 - y x e^2 y4 - y , dx , dy

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a x:
integral0^raiz4 - y x e^2 y4 - y , dx
Como e^2y e 4 - y são constantes em relação a x, podemos tirar esses fatores da integral:
e^2 y4 - y integral0^raiz4 - y x , dx
A integral de x em relação a x é:
integral x , dx = x^22
Então,
e^2 y4 - y [ (raiz4 - y)^22 - 0^22 ] = e^2 y4 - y cdot 4 - y2 = e^2 y2

Passo 7

Agora, a integral se simplifica para:
integral0^4 e^2 y2 , dy = 12 integral0^4 e^2 y , dy
A integral de e^2y em relação a y é:
integral e^2 y , dy = e^2 y2
Então,
12 [ e^2 y2 ]0^4 = 14 ( e^8 - e^0 ) = 14 (e^8 - 1)

Resposta

A integral vale e^8 - 14.

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