Estude a convergência da sequência
an=ln (n+2)-ln (n)

Passo 1

Vou estudar a sequência an = ln(n+2) - ln(n), que é uma sequência numérica. O conteúdo envolve propriedades de logaritmo e limite de função. Para resolver, vou usar a identidade de diferença de logaritmos e o comportamento de ntoinfty.

Passo 2

Uso a propriedade de logaritmo: ln A - ln B = ln(A/B). Assim,
an = lnl(tfracn+2nr) = lnl(1 + tfrac2nr)

Passo 3

Para estudar o limite, noto que tfrac2nto 0 quando ntoinfty. Como a função ln(x) é contínua em x=1, tenho
limntoinftyan = limntoinfty lnl(1+tfrac2nr) = lnl(1 + 0r) = 0

Passo 4

Portanto, a sequência an converge. Como o limite existe e é finito, concluo que an é convergente.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan = 0.

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