1-n2^n+1=n+A2^n+1+B n2^n

Passo 1

O enunciado dá a identidade 1-n2^n+1 = n + A2^n+1 + B n2^n
e pede para encontrar os valores de A e B que fazem essa igualdade válida para todo n. Vamos usar comparação de identidades e coeficientes.

Passo 2

Primeiro, eliminamos os denominadores multiplicando ambos os lados por 2^n+1:
1 - n = (n + A) + B n cdot 2
Aqui usamos que 2^n+1/2^n+1=1 e 2^n+1/2^n=2.

Passo 3

Agora, agrupamos os termos semelhantes do lado direito em termos de n e termos constantes:
1 - n = A + n + 2Bn
Podemos reorganizar como:
1 - n = A + (1 + 2B),n

Passo 4

Como a igualdade vale para todo n, os coeficientes de n e o termo constante devem ser iguais em ambos os lados. Assim:
Coeficiente de n: (-1) = 1 + 2B
Termo constante: 1 = A.
Resolvendo para B:
-1 = 1 + 2B implies 2B = -2 implies B = -1
E para A, já temos A = 1.

Resposta

A = 1 e B = -1

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