Determine o volume do sólido dado.
Delimitado pelas curvas z=x^2, y=x^2, e pelos planos z=0, y=4

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies z=x^2 e z=0, e pelos planos y=x^2 e y=4. Vamos usar cálculo de volume via integral tripla.

Passo 2

Precisamos projetar esse sólido no plano xy. A projeção D é a região entre y=x^2 e y=4. As interseções acontecem em x^2=4, ou seja, x=-2 e x=2. Portanto xin[-2,2] e, para cada x, yin[x^2,4].
Escrevemos o volume como
V=integral triplaV dV=integralx=-2^2integraly=x^2^4integralz=0^x^2 dz,dy,dx

Passo 3

Primeiro integramos em z:
integralz=0^x^2dz = x^2

Passo 4

Substituindo na integral dupla em x,y temos
V=integral-2^2integralx^2^4 x^2,dy,dx

Passo 5

Agora integramos em y:
integraly=x^2^4 x^2,dy = x^2(4 - x^2)

Passo 6

Por fim integramos em x:
V=integral-2^2 l(4x^2 - x^4r)dx = 2integral0^2(4x^2 - x^4)dx = 2l[tfrac4x^33 - tfracx^55r]0^2 = 12815

Resposta

12815

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