Calcule a integral iterada.
integral0^ln 2 integral0^ln 5(e^2 x-y) d x d y

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral iterada integral0^ln2integral0^ln5e^2x-y,dx,dy. O conteúdo aqui é integrais iteradas e vamos precisar aplicar o teorema de Fubini para separar as integrais e depois integrar primeiro em x e em seguida em y.

Passo 2

Primeiro, calculamos a integral interna em x:
[
\int_{0}{\ln5}e{2x-y},dx
= e{-y}\int_{0}{\ln5}e^{2x},dx
= e{-y}\left[\tfrac{1}{2}e{2x}\right]_{0}^{\ln5}
= e^{-y}\bigl(\tfrac{25-1}{2}\bigr)
=12e^{-y}.

Passo 3

Agora, integramos em y:
[
\int_{0}{\ln2}12e{-y},dy
=12\left[-e{-y}\right]_{0}{\ln2}
=12\bigl(1 - e^{-\ln2}\bigr)
=12\bigl(1 - \tfrac{1}{2}\bigr)
=6.

Resposta

6

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