Calcule a integral iterada.
Passo 1
Neste exercício vamos calcular a integral iterada
. O conteúdo aqui é integrais iteradas e vamos precisar aplicar o teorema de Fubini para separar as integrais e depois integrar primeiro em
e em seguida em
.
Passo 2
Primeiro, calculamos a integral interna em
:
[
\int_{0}{\ln5}e{2x-y},dx
= e{-y}\int_{0}{\ln5}e^{2x},dx
= e{-y}\left[\tfrac{1}{2}e{2x}\right]_{0}^{\ln5}
= e^{-y}\bigl(\tfrac{25-1}{2}\bigr)
=12e^{-y}.
\int_{0}{\ln5}e{2x-y},dx
= e{-y}\int_{0}{\ln5}e^{2x},dx
= e{-y}\left[\tfrac{1}{2}e{2x}\right]_{0}^{\ln5}
= e^{-y}\bigl(\tfrac{25-1}{2}\bigr)
=12e^{-y}.
Passo 3
Agora, integramos em
:
[
\int_{0}{\ln2}12e{-y},dy
=12\left[-e{-y}\right]_{0}{\ln2}
=12\bigl(1 - e^{-\ln2}\bigr)
=12\bigl(1 - \tfrac{1}{2}\bigr)
=6.
\int_{0}{\ln2}12e{-y},dy
=12\left[-e{-y}\right]_{0}{\ln2}
=12\bigl(1 - e^{-\ln2}\bigr)
=12\bigl(1 - \tfrac{1}{2}\bigr)
=6.
Resposta
6