Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
l3 ut+ux=0 u(x, 0)=f(x)

Passo 1

Estamos com o PDE de transporte 3 uₜ + uₓ = 0 para –∞<x<∞ e t>0, com condição inicial u(x,0)=f(x). O conteúdo é resolução de PDE linear usando a transformada de Fourier em x. Vamos precisar da definição da transformada
U(k,t)=integral-infty^inftye^-ikxu(x,t),dx
e da propriedade que diz que a transformada de ux é ikU(k,t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Fourier em x diretamente na equação. Como a transformada passa no tempo sem alterar derivadas em t, obtemos:
3,Ut(k,t)+ik,U(k,t)=0

Passo 3

Para resolver essa ODE em t, dividimos por 3 e enxergamos uma equação linear de 1º ordem:
Ut(k,t)+ik3U(k,t)=0
A solução geral é
U(k,t)=U(k,0)e^-ik3t

Passo 4

Usando a condição inicial u(x,0)=f(x), sua transformada é
U(k,0)=F(k)=integral-infty^inftye^-ikxf(x),dx
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U(k,t)=F(k)e^-ik3t

Passo 5

Para voltar ao domínio físico x, invertemos a transformada:
u(x,t)=12piintegral-infty^inftye^ikxU(k,t),dk =12piintegral-infty^inftye^ik(x-t3)F(k),dk
Pela propriedade de deslocamento da transformada, vemos que isso equivale a f(x - t/3).

Resposta

u(x,t)=fl(x-tfract3r)

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