Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma
e
.
Passo 1
Estamos com o PDE de transporte 3 uₜ + uₓ = 0 para –∞<x<∞ e t>0, com condição inicial u(x,0)=f(x). O conteúdo é resolução de PDE linear usando a transformada de Fourier em x. Vamos precisar da definição da transformada
e da propriedade que diz que a transformada de
é
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Fourier em x diretamente na equação. Como a transformada passa no tempo sem alterar derivadas em t, obtemos:
Passo 3
Para resolver essa ODE em t, dividimos por 3 e enxergamos uma equação linear de 1º ordem:
A solução geral é
Passo 4
Usando a condição inicial u(x,0)=f(x), sua transformada é
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Passo 5
Para voltar ao domínio físico x, invertemos a transformada:
Pela propriedade de deslocamento da transformada, vemos que isso equivale a f(x - t/3).