Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
lut=ux x u(x, 0)=1001+x^2

Passo 1

Estamos resolvendo a equação do calor na reta inteira, ou seja, temos ut = uxx para -infty < x < infty, t>0, com condição inicial u(x,0)=100/(1+x^2). Vamos usar a solução fundamental (núcleo de calor) e convolver com a condição inicial.

Passo 2

Para a equação do calor na reta inteira, a solução geral é dada por convolução com o núcleo gaussiano
G(x,t)=1raiz4pi te^-x^2/(4t)
ou seja
u(x,t)=integral-infty^inftyG(x-y,t),u(y,0),dy

Passo 3

Substituímos u(y,0)=100/(1+y^2) na fórmula de convolução. Assim obtemos
u(x,t)=1raiz4pi tintegral-infty^inftye^-(x-y)^2/(4t)1001+y^2,dy

Passo 4

Essa integral é a solução explícita do problema. Em geral não há uma forma elementar mais simples, mas esse integral em termos da função erro complexa pode ser usado para avaliação numérica.

Resposta

u(x,t)=100raiz4pi tintegral-infty^inftye^-(x-y)^24t11+y^2,dy

Exercícios relacionados