Derinadas Parciais
Determine fx y z x dado que f(x, y, z)=z cdot e^x+y^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial mista de quarta ordem f_{xy zx} para f(x,y,z)=z·e{x+y{2}}. O conteúdo aqui é derivadas parciais e derivadas mistas, e vamos usar a definição de derivada parcial além do teorema de Clairaut (ordem de diferenciação não altera o resultado).

Passo 2

Começamos calculando a primeira derivada parcial em relação a x. Como f(x,y,z)=z·e{x+y{2}}, temos
fx(x,y,z)=zcdot partialpartial xe^x+y^2=zcdot e^x+y^2

Passo 3

Agora derivamos f_{x} em relação a y para obter f_{xy}. Como z é constante e e^x+y^2 depende de y, aplicamos a regra da cadeia:
fxy(x,y,z)=partialpartial yl(z e^x+y^2r)=zcdot e^x+y^2cdot 2y=2yz,e^x+y^2

Passo 4

Em seguida derivamos f_{xy} em relação a z para achar f_{xyz}. Agora e{x+y{2}} e y são constantes frente a derivação por z, então:
fxyz(x,y,z)=partialpartial zl(2yz,e^x+y^2r)=2y,e^x+y^2

Passo 5

Por fim derivamos f_{xyz} em relação a x para obter f_{xyzx}. Aqui y e e{x+y{2}} aparecem, e derivada de e{x+y{2}} em x é ela mesma. Então:
fxyzx(x,y,z)=partialpartial xl(2y,e^x+y^2r)=2y,e^x+y^2

Resposta

f_{xyzx}(x,y,z)=2y,e{x+y{2}}

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