Derinadas Parciais
Determine
dado que
Determine
Passo 1
O enunciado pede a derivada parcial mista de quarta ordem f_{xy zx} para f(x,y,z)=z·e{x+y{2}}. O conteúdo aqui é derivadas parciais e derivadas mistas, e vamos usar a definição de derivada parcial além do teorema de Clairaut (ordem de diferenciação não altera o resultado).
Passo 2
Começamos calculando a primeira derivada parcial em relação a x. Como f(x,y,z)=z·e{x+y{2}}, temos
Passo 3
Agora derivamos f_{x} em relação a y para obter f_{xy}. Como z é constante e
depende de y, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 4
Em seguida derivamos f_{xy} em relação a z para achar f_{xyz}. Agora e{x+y{2}} e y são constantes frente a derivação por z, então:
Passo 5
Por fim derivamos f_{xyz} em relação a x para obter f_{xyzx}. Aqui y e e{x+y{2}} aparecem, e derivada de e{x+y{2}} em x é ela mesma. Então:
Resposta
f_{xyzx}(x,y,z)=2y,e{x+y{2}}