Determine o volume do sólido que está dentro da esfera x^2+y^2+z^2=4, acima do plano x y e dentro do cone z^2=x^2+y^2 com z >= 0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que satisfaz simultaneamente: estar dentro da esfera x^2+y^2+z^2=4, acima do plano xy (isto é, z>=0) e dentro do cone z^2=x^2+y^2 com z>=0. O conteúdo usado será integração tripla em coordenadas esféricas, já que a região é bem descrita por limites angulares constantes.

Passo 2

Para entender a região em esféricas, lembramos que x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi e o elemento de volume é rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. A esfera x^2+y^2+z^2=4 vira rho=2. O cone z^2=x^2+y^2 rho^2cos^2phi=rho^2sin^2phi ou phi=pi/4. Como queremos z>=0, temos 0<=phi<=pi/4. E theta percorre [0,2pi].

Passo 3

Montamos então o integral de volume:
V=integraltheta=0^2piintegralphi=0^pi/4integralrho=0^2 rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em rho:
integral0^2rho^2,drho=l[tfracrho^33r]0^2=tfrac83

Passo 5

Então o volume fica
V=tfrac83integral0^2piintegral0^pi/4sinphi,dphi,dtheta

Passo 6

Agora integramos em phi:
integral0^pi/4sinphi,dphi=l[-cosphir]0^pi/4=1-costfracpi4=1-tfrac1raiz2

Passo 7

E em theta dá simplesmente 2pi. Logo
V=tfrac83times2pitimesl(1-tfrac1raiz2r)=tfrac16pi3l(1-tfrac1raiz2r)

Resposta

V=16pi3l(1-tfrac1raiz2r)

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