Determine o volume do sólido que está dentro da esfera
, acima do plano
e dentro do cone
com
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que satisfaz simultaneamente: estar dentro da esfera
, acima do plano
(isto é,
) e dentro do cone
com
. O conteúdo usado será integração tripla em coordenadas esféricas, já que a região é bem descrita por limites angulares constantes.
Passo 2
Para entender a região em esféricas, lembramos que
,
,
e o elemento de volume é
. A esfera
vira
. O cone
dá
ou
. Como queremos
, temos
. E
percorre
.
Passo 3
Montamos então o integral de volume:
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Passo 5
Então o volume fica
Passo 6
Agora integramos em
:
Passo 7
E em
dá simplesmente
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