Todas as aplicações de integrais duplas da Seção 15.5 podem ser imediatamente estendidas para as integrais triplas. Por exemplo, se a função densidade de um objeto sólido que ocupa a região E é rho(x, y, z), em unidades de massa por unidade de volume, em qualquer ponto (x, y, z), então sua massa é
m=integral triplaE rho(x, y, z) d V
e seus momentos em relação aos três planos coordenados são
14
My z=integral triplaE x rho(x, y, z) d V Mx z=integral triplaE y rho(x, y, z) d V Mx y=integral triplaE z rho(x, y, z) d V
O centro de massa está localizado no ponto (barx, bary, barz), onde
15
barx=My zm bary=Mx zm barz=Mx ym
Seja H um hemisfério sólido de raio a cuja densidade em qualquer ponto é proporcional à distância ao centro da base.
Determine o centro de massa de H.

Passo 1

A questão pede pra gente achar o centro de massa de um hemisfério sólido de raio a, cuja densidade em cada ponto é proporcional à distância desse ponto até o centro da base. O conteúdo envolve coordenadas esféricas e integrais triplas para massa e momentos.

Passo 2

Como a densidade é proporcional à distância ao centro da base (que fica em (0,0,0)), escrevemos rho(x,y,z)=k,r, onde r=raizx^2+y^2+z^2. Em coordenadas esféricas usamos: 0<= r<= a, 0<=theta<=pi/2 (dome superior), 0<=phi<=2pi, e dV=r^2sintheta,dr,dtheta,dphi.

Passo 3

Para achar a massa m=integral triplaErho,dV, montamos:
m = integral0^2pi!integral0^pi/2!integral0^a k,r ;r^2sintheta,dr,dtheta,dphi
Integramos por partes:
- integral0^a r^3 dr = tfraca^44,
- integral0^pi/2sintheta,dtheta =1,
- integral0^2pidphi=2pi.
Logo
m = kcdot2picdot1cdota^44 = pi k a^42

Passo 4

Por simetria em x e y, teremos bar x=0 e bar y=0. Só falta bar z=tfracMxym. Calculamos
Mxy=integral triplaE z,rho,dV = integral0^2pi!integral0^pi/2!integral0^a (rcostheta),(k r),r^2sintheta,dr,dtheta,dphi
Aqui o integrando vira k,r^4costhetasintheta. As integrais são
- integral0^a r^4 dr=tfraca^55,
- integral0^pi/2sinthetacostheta,dtheta=tfrac12,
- integral0^2pidphi=2pi.
Então
Mxy = kcdot2picdottfrac12cdota^55 = pi k a^55

Passo 5

Por fim
bar z = Mxym = (pi k a^5/5)(pi k a^4/2) = 2a5

Passo 6

Portanto, o centro de massa do hemisfério é: (0,0,2a/5)).

Resposta

(0,,0,\tfrac{2a}{5})

Exercícios relacionados