Todas as aplicações de integrais duplas da Seção 15.5 podem ser imediatamente estendidas para as integrais triplas. Por exemplo, se a função densidade de um objeto sólido que ocupa a região
é
, em unidades de massa por unidade de volume, em qualquer ponto
, então sua massa é
e seus momentos em relação aos três planos coordenados são
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O centro de massa está localizado no ponto
, onde
15
Seja
um hemisfério sólido de raio
cuja densidade em qualquer ponto é proporcional à distância ao centro da base.
Determine o centro de massa de
.
14
15
Determine o centro de massa de
Passo 1
A questão pede pra gente achar o centro de massa de um hemisfério sólido de raio
, cuja densidade em cada ponto é proporcional à distância desse ponto até o centro da base. O conteúdo envolve coordenadas esféricas e integrais triplas para massa e momentos.
Passo 2
Como a densidade é proporcional à distância ao centro da base (que fica em
), escrevemos
, onde
. Em coordenadas esféricas usamos:
,
(dome superior),
, e
.
Passo 3
Para achar a massa
, montamos:
Integramos por partes:
-
-
-
Logo
Passo 4
Por simetria em
e
, teremos
e
. Só falta
. Calculamos
Aqui o integrando vira
-
-
-
Então
Passo 5
Por fim
Passo 6
Portanto, o centro de massa do hemisfério é:
.
Resposta
(0,,0,\tfrac{2a}{5})