Seja f(x)=x-llbracket x rrbracket
b) Se n for um inteiro calcule:
lim x n^- f(x) e lim x n^+ f(x)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função f(x)=x-llbracket xrrbracket, onde llbracket xrrbracket é a parte inteira de x. O objetivo é calcular os limites laterais xto n^- e xto n^+, com n inteiro. Para isso, vamos usar a definição de parte inteira próximo de um inteiro.

Passo 2

Cálculo de limxto n^-f(x): seja x=n-varepsilon com varepsilon>0 muito pequeno. Então llbracket xrrbracket=llbracket n-varepsilonrrbracket=n-1 e
f(x)=x-llbracket xrrbracket=(n-varepsilon)-(n-1)=1-varepsilon
Como varepsilonto0^+, temos f(x)to1.

Passo 3

Cálculo de limxto n^+f(x): seja x=n+varepsilon com varepsilon>0 muito pequeno. Então llbracket xrrbracket=llbracket n+varepsilonrrbracket=n e
f(x)=x-llbracket xrrbracket=(n+varepsilon)-n=varepsilon
Como varepsilonto0^+, temos f(x)to0.

Resposta

limxto n^-f(x)=1 e limxto n^+f(x)=0.

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