Determine o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro x^2+y^2=1 como da esfera x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região que é simultaneamente interior ao cilindro x^2+y^2=1 e à esfera x^2+y^2+z^2=1. Vamos usar conceitos de geometria e volume de sólidos, lembrando que podemos trabalhar em coordenadas cilíndricas para visualizar as regiões no espaço.

Passo 2

Observando a geometria, num ponto da esfera x^2+y^2+z^2<=1 temos x^2+y^2<=1-z^2<=1. Logo, todo ponto da esfera satisfaz x^2+y^2<=1, isto é, a esfera está inteiramente contida no cilindro. Portanto a interseção é exatamente a própria esfera de raio 1.

Passo 3

Para calcular o volume da esfera de raio r usamos a fórmula clássica:
Vesfera=4pi3r^3

Passo 4

Basta agora substituir r=1 na expressão anterior para obter o volume desejado.

Resposta

tfrac4pi3

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