Escreva uma integral tripla iterada para a integral de
sobre a região no primeiro octante limitada pelo cone
, o cilindro
, e os planos de coordenadas. Encontre a integral de
avaliando uma das integrais triplas.
Passo 1
O problema pede para calcular a integral tripla
com
sobre a região
no primeiro octante limitada pelas superfícies
,
,
, pelo cilindro
e pelo cone
. Vamos usar integração em coordenadas cilíndricas para simplificar.
Em coordenadas cilíndricas fazemos ,
,
e o fator de correção (jacobiano) é
. A projeção de
no plano
é o setor polar com
e
. Para cada
, o valor de
varia de
até o cone
.
Em coordenadas cilíndricas fazemos
Passo 2
A integral tripla iterada fica:
Agora calculamos passo a passo. Primeiro integramos em
:
Em seguida integramos em
:
Por fim integramos em
: