Escreva uma integral tripla iterada para a integral de f(x, y, z)=6+4 sobre a região no primeiro octante limitada pelo cone z=raizx^2+y^2, o cilindro x^2+y^2=1, e os planos de coordenadas. Encontre a integral de f avaliando uma das integrais triplas.

Passo 1

O problema pede para calcular a integral tripla integral triplaD f(x,y,z),dV com f(x,y,z)=6+4=10 sobre a região D no primeiro octante limitada pelas superfícies x=0, y=0, z=0, pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelo cone z=raizx^2+y^2. Vamos usar integração em coordenadas cilíndricas para simplificar.
Em coordenadas cilíndricas fazemos x=rcostheta, y=rsintheta, z=z e o fator de correção (jacobiano) é r. A projeção de D no plano xy é o setor polar com 0<= r<=1 e 0<=theta<=pi/2. Para cada (r,theta), o valor de z varia de 0 até o cone z=r.

Passo 2

A integral tripla iterada fica:
integraltheta=0^pi/2integralr=0^1integralz=0^r(6+4),r,dz,dr,dtheta
Agora calculamos passo a passo. Primeiro integramos em z:
integralz=0^r10,r,dz = 10rintegral0^rdz = 10rcdot r = 10r^2
Em seguida integramos em r:
integralr=0^110r^2,dr = 10cdot 1^33 = 103
Por fim integramos em theta:
integraltheta=0^pi/2103,dtheta = 103cdotpi2 = 5pi3

Resposta

5pi3

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