Encontre o valor médio da função f(rho, theta, phi)=rho sobre a bola sólida rho <= 1.

Passo 1

A questão pede para calcular o valor médio da função f(rho,theta,phi)=rho sobre a bola sólida rho<=1. O conteúdo envolve valor médio de funções em várias variáveis e integração em coordenadas esféricas. Vamos usar a definição de valor médio, o volume da bola unitária e converter a integral para esféricas.

Passo 2

O volume da bola unitária em R^3 é dado por Vol(V)=tfrac4pi3. A definição de valor médio de uma função f em um domínio V é
bar f=1Vol(V)integralV f,dV

Passo 3

Em coordenadas esféricas, dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta e f=rho. Então montamos a integral
integralV f,dV=integral0^2pi!integral0^pi!integral0^1 rhocdotrho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Separamos em fatores:
integral0^2pidtheta=2pi,
integral0^pisinphi,dphi=2,
integral0^1rho^3,drho=14
Multiplicando:
integralV f,dV=2pitimes2times14=pi

Passo 4

Finalmente, pelo valor médio
bar f=1Vol(V)integralV f,dV=pitfrac4pi3=34

Resposta

tfrac34

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