Determine o volume do sólido descrito em cada item abaixo.
Sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro z=16-x^{2} e pelo plano y=5.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está no primeiro octante (ou seja, x\ge0, y\ge0, z\ge0), limitado por cima pela superfície
z = 16 - x^{2}
e lateralmente pelo plano
y = 5.
O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Precisamos descrever a região D em termos de limites de integração.
– Como z vai de 0 até a superfície 16 - x^2, temos
0 \le z \le 16 - x^{2}.
– O plano y=5 e o primeiro octante dão
0 \le y \le 5.
– Para que 16 - x^{2}\ge0 e x\ge0, x varia de
0 \le x \le 4.

Passo 3

Escrevemos o volume como
V = \int_{x=0}^{4}\int_{y=0}^{5}\int_{z=0}^{16 - x^{2}} dz\,dy\,dx.
Primeiro integramos em z:
\int_{0}^{16 - x^{2}} dz = 16 - x^{2}.
Em seguida, integramos esse resultado em y:
\int_{0}^{5}(16 - x^{2})\,dy = 5\,(16 - x^{2}).

Passo 4

Agora sobra integrar em x:
V = \int_{0}^{4} 5\,(16 - x^{2})\,dx = 5 \int_{0}^{4} (16 - x^{2})\,dx.
Calculamos
\int_{0}^{4} (16 - x^{2})\,dx = \Bigl[16x - \tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{4} = \bigl(64 - \tfrac{64}{3}\bigr) = \tfrac{128}{3}.
Logo
V = 5 \cdot \tfrac{128}{3} = \tfrac{640}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{640}{3}

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