Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}(4-x-2 y) d x d y\left[\right.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o sólido cujo volume é dado por
\displaystyle \int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}(4 - x - 2y)\,dx\,dy.
Aqui o que temos é uma região no espaço delimitada por:
– o plano superior z = 4 - x - 2y,
– o plano inferior z=0,
– e as faces laterais x=0, x=1, y=0, y=1.
O domínio de projeção no plano xy é o quadrado R = [0,1]\times[0,1].

Passo 2

Identificamos a superfície de teto:
z = 4 - x - 2y,
que intercepta o eixo z em (0,0,4). No plano xy, a base é o quadrado cujos vértices são
(0,0),\quad (1,0),\quad (1,1),\quad (0,1).

Passo 3

Calculamos as alturas z nos vértices do quadrado de base:
z(0,0)=4,\quad z(1,0)=4-1=3,\quad z(0,1)=4-2=2,\quad z(1,1)=4-1-2=1.

Passo 4

Para esboçar:
– Desenhe o quadrado de base no plano z=0 com vértices
(0,0,0), (1,0,0), (1,1,0) e (0,1,0).
– Sobre cada vértice, erga uma aresta até a altura correspondente na superfície, obtendo os pontos
(0,0,4), (1,0,3), (1,1,1) e (0,1,2).

Passo 5

Una esses quatro pontos por segmentos para formar a face superior quadrilátera inclinada. Depois, ligue cada segmento da base ao seu correspondente na face superior, completando as faces laterais do sólido.

Resposta

O sólido é a região
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 1,\quad 0 \le z \le 4 - x - 2y,
com base no quadrado unitário em z=0 e teto dado pelo plano z=4-x-2y.
Seus vértices são
(0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0) na base
e
(0,0,4), (1,0,3), (1,1,1), (0,1,2) na face superior.

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