Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o sólido cujo volume é dado pela integral dupla
Aqui o que define o sólido é a função altura
sobre o domínio plano
O conteúdo é visualização de regiões em três dimensões e volume via integrais.
Passo 2
Descrevemos primeiro o domínio no plano
. É simplesmente o quadrado com vértices
,
,
e
.
Passo 3
A função
é um paraboloide circular voltado para baixo, cujo vértice está em
. Ao longo das arestas do quadrado:
- Em
temos . - Em
temos também. - Em
temos .
Passo 4
Note que a interseção com o plano
ocorre na curva
, mas dentro do quadrado só chega ao ponto
. Portanto, em toda a região
,
varia entre
e
, atingindo zero apenas no canto
.
Passo 5
Para esboçar:
- Desenhe o quadrado no plano
. - Em cada vértice marque a altura:
-
, -
, -
, -
.
-
- Ligue esses pontos suavemente, formando um pedaço do paraboloide voltado para baixo.
- Lateralmente o sólido é “cortado” pelos planos
, , e .
Resposta
O sólido é o trecho do paraboloide
acima do quadrado
e abaixo do plano
. Em outras palavras, é um “cap” parabólico que vai de
em
decaindo até
em
.