Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left(2-x^{2}-y^{2}\right) d A\left[\right.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o sólido cujo volume é dado pela integral dupla
\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\bigl(2 - x^{2} - y^{2}\bigr)\,dA.
Aqui o que define o sólido é a função altura
z = 2 - x^{2} - y^{2}
sobre o domínio plano
D = \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1\}.
O conteúdo é visualização de regiões em três dimensões e volume via integrais.

Passo 2

Descrevemos primeiro o domínio no plano xy. É simplesmente o quadrado com vértices
(0,0), (1,0), (1,1) e (0,1).

Passo 3

A função
z=2 - x^{2} - y^{2}
é um paraboloide circular voltado para baixo, cujo vértice está em (0,0,2). Ao longo das arestas do quadrado:
  • Em (1,0) temos z=2-1^{2}-0^{2}=1.
  • Em (0,1) temos z=1 também.
  • Em (1,1) temos z=2-1-1=0.

Passo 4

Note que a interseção com o plano z=0 ocorre na curva x^{2}+y^{2}=2, mas dentro do quadrado só chega ao ponto (1,1,0). Portanto, em toda a região D, z varia entre 0 e 2, atingindo zero apenas no canto (1,1).

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe o quadrado no plano xy.
  2. Em cada vértice marque a altura:
    • (0,0)\to z=2,
    • (1,0)\to z=1,
    • (0,1)\to z=1,
    • (1,1)\to z=0.
  3. Ligue esses pontos suavemente, formando um pedaço do paraboloide voltado para baixo.
  4. Lateralmente o sólido é “cortado” pelos planos x=0, x=1, y=0 e y=1.

Resposta

O sólido é o trecho do paraboloide
z = 2 - x^{2} - y^{2}
acima do quadrado 0\le x\le1,\;0\le y\le1 e abaixo do plano xy. Em outras palavras, é um “cap” parabólico que vai de z=2 em (0,0) decaindo até z=0 em (1,1).

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