Esboce a região de integração e calcule a integral:
integral0^1 integralx^2^1 x^3 sen y^3 d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração no plano xy e calcular a integral dupla integral0^1 integralx^2^1 x^3sin(y^3),dy,dx. O conteúdo é mudança de ordem de integração em integrais duplas e aplicação de substituição em uma integral simples.

Passo 2

A região de integração é dada por 0<= x<=1 e x^2<= y<=1. No plano xy, isso corresponde ao domínio limitado pela parábola y=x^2, pela reta horizontal y=1 e pelos eixos x=0 e x=1.

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos trocar a ordem de integração. Observando a região, para cada y entre 0 e 1, x varia de 0 até raizy. Assim,
$$\n\int_{0}^{1} \int_{x{2}}{1} x{3}\sin(y{3}),dy,dx = \int_{y=0}^{1} \int_{x=0}^{\sqrt{y}} x{3}\sin(y{3}),dx,dy.
$$

Passo 4

Agora integramos primeiro em x. Como sin(y^3) é constante em relação a x,
$$\n\int_{0}^{\sqrt{y}} x{3}\sin(y{3}),dx = \sin(y^{3}) \int_{0}^{\sqrt{y}} x^{3},dx = \sin(y^{3}) \Bigl[\frac{x{4}}{4}\Bigr]_{0}{\sqrt{y}} = \frac{y{2}}{4},\sin(y{3}).
$$

Passo 5

Portanto a integral dupla fica
$$\n\int_{0}^{1} \frac{y{2}}{4},\sin(y{3}),dy = \frac{1}{4} \int_{0}^{1} y{2}\sin(y{3}),dy.
$$

Passo 6

Fazemos a substituição u=y^3, de onde du=3y^2dy e y^2dy=du/3. Os limites vão de u(0)=0 até u(1)=1. Assim,
$$\n\frac{1}{4} \int_{0}^{1} y{2}\sin(y{3}),dy = \frac{1}{4} \int_{0}^{1} \sin(u)\frac{du}{3} = \frac{1}{12} \int_{0}^{1} \sin(u),du = \frac{1}{12}[-\cos(u)]_{0}^{1} = \frac{1-\cos(1)}{12}.
$$

Resposta

1-cos(1)12

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