Esboce a região de integração e calcule a integral:
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração no plano xy e calcular a integral dupla
. O conteúdo é mudança de ordem de integração em integrais duplas e aplicação de substituição em uma integral simples.
Passo 2
A região de integração é dada por
e
. No plano xy, isso corresponde ao domínio limitado pela parábola
, pela reta horizontal
e pelos eixos
e
.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos trocar a ordem de integração. Observando a região, para cada
entre 0 e 1,
varia de 0 até
. Assim,
$$\n\int_{0}^{1} \int_{x{2}}{1} x{3}\sin(y{3}),dy,dx = \int_{y=0}^{1} \int_{x=0}^{\sqrt{y}} x{3}\sin(y{3}),dx,dy.
$$
Passo 4
Agora integramos primeiro em
. Como
é constante em relação a
,
$$\n\int_{0}^{\sqrt{y}} x{3}\sin(y{3}),dx = \sin(y^{3}) \int_{0}^{\sqrt{y}} x^{3},dx = \sin(y^{3}) \Bigl[\frac{x{4}}{4}\Bigr]_{0}{\sqrt{y}} = \frac{y{2}}{4},\sin(y{3}).
$$
Passo 5
Portanto a integral dupla fica
$$\n\int_{0}^{1} \frac{y{2}}{4},\sin(y{3}),dy = \frac{1}{4} \int_{0}^{1} y{2}\sin(y{3}),dy.
$$
Passo 6
Fazemos a substituição
, de onde
e
. Os limites vão de
até
. Assim,
$$\n\frac{1}{4} \int_{0}^{1} y{2}\sin(y{3}),dy = \frac{1}{4} \int_{0}^{1} \sin(u)\frac{du}{3} = \frac{1}{12} \int_{0}^{1} \sin(u),du = \frac{1}{12}[-\cos(u)]_{0}^{1} = \frac{1-\cos(1)}{12}.
$$