Determine o volume do sólido que se encontra acima do cone z=raizx^2+y^2 e abaixo da esfera x^2+y^2+z^2=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado acima pelo cone z=raizx^2+y^2 e abaixo pela esfera x^2+y^2+z^2=2.
O conteúdo aqui é cálculo de volume em coordenadas esféricas, usando a fórmula do jacobiano e identificando corretamente os limites de integração.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = rsinphicostheta, y = rsinphisintheta, z = rcosphi,
com r>=0, phiin[0,pi] e thetain[0,2pi].
A condição de estar abaixo da esfera x^2+y^2+z^2=2 vira
r<= raiz2
A condição de estar acima do cone z=raizx^2+y^2 é
rcosphi >= rsinphi Longrightarrow cosphi>=sinphi Longrightarrow phi<= pi4
Portanto os limites são
0<= r<= raiz2, 0<= phi<= pi4, 0<= theta<= 2pi

Passo 3

O volume em coordenadas esféricas é
V =integral0^2pi!integral0^pi/4!integral0^raiz2 r^2sinphi,dr,dphi,dtheta
Primeiro integramos em r:
integral0^raiz2r^2,dr =gl[r^33gr]0^raiz2 =(raiz2)^33 =2raiz23

Passo 4

Substituindo no integral restante:
V = integral0^2pidtheta integral0^pi/42raiz23sinphi,dphi =2picdot2raiz23 integral0^pi/4sinphi,dphi
Calculamos
integral0^pi/4sinphi,dphi =l[-cosphir]0^pi/4 =1-1raiz2
Logo
V =2picdot2raiz23l(1-1raiz2r) =4piraiz23-4pi3 =4pi3l(raiz2-1r)

Resposta

boxedV = 4pi3l(raiz2 - 1r)

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