Encontre a derivada direcional da respectiva função, no ponto e na direção do vetor indicados. (Lembrando que, para inserir as coordenadas do vetor na fórmula da derivada direcional, o vetor tem que ser unitário. Então, se necessário, normalize ele)
j(x, y, z)=z+5^2+3 x tg y, no ponto (-1, pi4, 10), para o vetor v=(127, 47, 67).

Passo 1

A questão pede a derivada direcional de
j(x,y,z)=z+5^2+3xtan y
no ponto l(-1,tfracpi4,10r) na direção do vetor vec v=(tfrac127,tfrac47,tfrac67).
Para isso usamos que a derivada direcional de j na direção unitária vec u é
Dvec uj( p)=nabla j( p)cdotvec u,
então precisamos (1) encontrar nabla j, (2) avaliar em p, (3) normalizar vec v para obter vec u e (4) fazer o produto escalar.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de
j(x,y,z)=z+5^2+3xtan y
Derivando em relação a x:
partial jpartial x = ddxl(5^2+3xr),tan y =5^2+3xln5cdot3,tan y =3ln5;5^2+3xtan y
Em relação a y:
partial jpartial y =5^2+3x,ddy(tan y) =5^2+3xsec^2y
Em relação a z:
partial jpartial z=1
Logo
nabla j(x,y,z)=l(3ln5,5^2+3xtan y,;5^2+3xsec^2y,;1r)

Passo 3

Agora avaliamos nabla j em l(x,y,z)=(-1,tfracpi4,10). Note que
5^2+3(-1)=5^-1=tfrac15, tan!tfracpi4=1, sec^2!tfracpi4=2
Logo
partial jpartial xl(-1,tfracpi4,10r) =3ln5cdottfrac15cdot1=tfrac3ln55,
partial jpartial yl(-1,tfracpi4,10r) =tfrac15cdot2=tfrac25,
partial jpartial zl(-1,tfracpi4,10r)=1
Portanto
nabla jl(-1,tfracpi4,10r) =l(tfrac3ln55,;tfrac25,;1r)

Passo 4

O vetor dado é vec v=(tfrac127,tfrac47,tfrac67). Seu módulo é
|vec v|=raizl(tfrac127r)^2+l(tfrac47r)^2+l(tfrac67r)^2 =raiz144+16+367 =147=2
Para obter a direção unitária fazemos
vec u=vec v|vec v| =l(tfrac67,;tfrac27,;tfrac37r)

Passo 5

A derivada direcional é
Dvec uj =nabla jl(-1,tfracpi4,10r)cdotvec u =l(tfrac3ln55,tfrac25,1r)cdotl(tfrac67,tfrac27,tfrac37r)
Fazendo o produto escalar:
Dvec uj =3ln55cdot67 +25cdot27 +1cdot37 =18ln535+435+1535 =18ln5+1935

Resposta

boxed18ln5+1935

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