A partir do vetor gradiente, forneça quais são os valores das inclinações (derivadas direcionais) máxima e mínima do ponto na função.
f(x, y)=16 y^2x, no ponto (8,4).

Passo 1

O enunciado pede as inclinações máxima e mínima de f(x,y)=16y^2x no ponto (8,4). Esse conteúdo envolve derivadas parciais, o vetor gradiente e a relação entre o gradiente e as derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro calculamos o vetor gradiente de f. Lembrando que
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,,partial fpartial yr)
Temos
partial fpartial x =-16y^2x^2, partial fpartial y =32yx

Passo 3

Agora avaliamos em (8,4):
partial fpartial x(8,4) =-16cdot4^28^2 =-16cdot1664 =-4, partial fpartial y(8,4) =32cdot48 =16
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nabla f(8,4)=(-4,,16)

Passo 4

A derivada direcional máxima no ponto é o módulo do gradiente, e a mínima é o seu negativo:
|nabla f(8,4)| =raiz(-4)^2+16^2 =raiz16+256 =raiz272 =4raiz17
Portanto, a inclinação máxima é 4raiz17 e a mínima é -4raiz17.

Resposta

A inclinação máxima vale 4raiz17 e a mínima vale -4raiz17.

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